舉個例子，比如我們在做基於視覺的抓取時，不管是眼在手上（eye-in-hand），還是眼在手外（eye-to-hand），總是需要標定相機和執行器末端的關系的，那如何對這二者之間的關系進行表述呢？就是使用這裡將要介紹的空間描述和變換。說白瞭，就是把我們學過的線性代數的知識拿過來用一用，然後對其在空間中的含義進行理解，而不是單純的瞭解矩陣的數學運算。
我們知道，在我們生活的三維空間中，對於剛體而言，存在著六個自由度，其中三個用來描述質心位置，而另外三個自由度用來描述整個剛體繞質心的旋轉。所以，我們下面先介紹位置描述，然後介紹姿態描述。
位置描述
關於位置描述其實大傢是比較熟悉的，比如說下面的圖例：
在這裡，我們在坐標系{A}下對矢量進行表示：
用上面的有序三元組對我們在空間中的一個質點的位置進行表示，這三個量是完全獨立的，因此有3個自由度。
姿態描述
上面我們談到位置描述的時候，關心的對象是質點，因此它本身不需要對其姿態進行描述，故而沒有引入旋轉，但是當我們的研究對象是剛體的時候，則需要在剛體上固定一個坐標系，用來表示剛體的旋轉瞭，這也就是我們引入姿態描述的原因。
如上圖所示，我們關心機械臂末端夾持器末端中心的位姿（包括位置和姿態）在坐標系{A}下的表示。所以我們以該點作為原點，並且選擇三個正交單位向量作為軸，建立一個坐標系{B}，這個坐標系本身就是我們所尋求的表示：
這個矩陣就叫做旋轉矩陣，表示{B}相對於{A}的旋轉。其中的三個分量分別為{B}的三個主軸向量在{A}中的表示，因此我們可以將上面的式子寫為：
這樣，我們就能夠清晰地理解這個矩陣的由來瞭，並且由於旋轉矩陣是利用{B}的三個主軸單位向量在{A}中的投影得到的，所以它有一些特殊性質，首先它是一個對稱矩陣：
這個式子的話可以很容易從上一個式子匯總看出來，下面我們來看它的另一個性質，即“旋轉矩陣的逆等於它的轉置”：
拿單位陣中的第一行第一列的1來說，它其實就是坐標系{B}的X軸在坐標系{A}中各軸上的投影構成的行向量乘以它構成的列向量，也就等於{B}的X軸本身的長度1，同理，我們可以得到旋轉矩陣的轉置乘以旋轉矩陣等於單位陣（可以從方向餘弦推導），所以說“旋轉矩陣的逆等於它的轉置”。
可是旋轉矩陣明明有9個值，為什麼隻占瞭3個自由度呢？因為這些量之間是有約束方程的：每一列的平方和為1，不同列相互正交，這與旋轉矩陣的轉置乘以旋轉矩陣本身等於單位矩陣是一樣的。這麼一算，就有6個約束方程瞭，所以隻有3個自由度，這一點我們後面將會詳細分析。
坐標系的描述
在機器人學中，位置和姿態經常成對出現，於是我們將此組合稱為坐標系，比如坐標系{B}在坐標系{A}中的表示如下：
值得註意的是，在John J.Craig的《Introduction to Robotics: Mechanics and Control》書中有這樣一句表述：“一個參考系可以用一個坐標系相對於另一個坐標系的關系來描述”。也就是說，在這裡，Craig將參考系虛化為瞭一種關系，這與我們平時說的參考系的理解其實不太一樣。“參考系包括位置和姿態兩個概念，大多數情況下被認為是這兩個概念的結合。位置可由一個參考系表示，這個參考系中的旋轉矩陣是單位陣，並且這個參考系中的位置矢量確定瞭被描述點的位置。同樣，如果參考系中的位置矢量是零矢量，那麼它表示的就是姿態。”從這段話來看，其實將參考系理解為一個變換就好瞭，比如說如果{B}是由{A}平移得到的，那麼{B}的原點可以由旋轉矩陣為單位陣，平移向量為{A}到{B}的矢量的這樣一個組合來表示。後面我們介紹完映射之後，大傢將進一步理解這本書裡面的參考系的含義。
映射
這一節主要介紹平移坐標系的映射以及旋轉坐標系的映射，其中平移坐標系映射的概念相比大傢都比較熟悉，所以我們就不仔細討論瞭：
P相對於{A}的位置可以表示為：
值得註意的是，我們已知P在{B}中的位置表示以及{B}相對於{A}的平移，想要計算的是P在{A}中的位置表示，能夠列出上式的前提是，{B}相對於{A}不存在旋轉。如果存在旋轉的話，我們需要瞭解旋轉坐標系的映射：
我們知道{A}的主軸X在{B}中的表示為：
這個映射將空間中的某個點P相對於{B}的描述轉換成瞭該點相對於{A}的描述。
關於一般坐標系的描述
在這裡，我們將討論下圖所示的一般情況：
算子
逆變換
變換方程
這一小節比較簡單，我們直接給出示例：
姿態的其他描述方法
我們知道旋轉矩陣是單位正交陣，又因為其行列式為1，所以被稱為標準正交陣（非標準正交陣的行列式值為-1）。前面我們聊到旋轉矩陣中有9個量，但是卻隻表示瞭3個自由度，是因為矩陣中的元素存在著6個約束：
我們對{B}進行旋轉，每次都是繞著固定坐標系{A}的軸進行旋轉的，我們常將繞著X、Y、Z的旋轉稱為pitch、yaw、roll，也即俯仰、偏航、翻滾。將三次旋轉利用旋轉矩陣寫出並相乘：
關於這個式子應該怎麼理解呢？我們最終的目標是求出{B}相對於{A}的旋轉，對於固定角坐標系，每次旋轉都是基於{A}的，因而是按照旋轉次序，依次左乘；對於歐拉角則是利用中間坐標系變換，所以依次右乘。比如上面的Z-Y-X歐拉角，記{A}繞{A}的Z旋轉得到{B'}，然後{B'}繞{B'}的Y旋轉得到{B''}，最後{B''}繞{B''}的X旋轉得到{B}，所以，我們可以寫出：
式中的3個旋轉角分別是繞著{A}的Z軸，{B'}的Y軸，{B‘’}的X軸旋轉（所以相對於我們的旋轉，是右乘，先乘以繞X的旋轉，再乘以繞Y的旋轉，最後才是繞Z的旋轉），因此我們可以得出結論：X-Y-Z固定角與Z-Y-X歐拉角在同樣的角度大小下，旋轉所得到的最終結果是一樣的，也就是說在這兩種表示下，{B}相對於{A}的姿態一致。註意，這並不是巧合，是因為固定角表示下是基本旋轉矩陣左乘，而歐拉角表示下是基本旋轉矩陣的右乘，而恰好X-Y-Z與Z-Y-X是相反的旋轉順序，所以最終的效果就一樣瞭。
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