編者按
選址問題是運籌學中非常經典的問題。該問題是指在確定選址對象，選址目標區，成本函數以及約束條件的前提下，以總物流成本最低或總服務水平最優或社會效益最大化為目標，確定物流系統中物流節點的數量，位置，從而合理規劃物流網絡結構。
選址問題在公司實現其經營戰略與目標的過程中有著重大的意義。選址的好壞直接影響到生產成本，服務時間，服務質量等等，進而影響公司的利潤與其在商業市場上的競爭力，甚至決定瞭企業的命運。一個好的選址可以減少生產成本，節省顧客購買時間，便利顧客，而差的選址會帶來物流中的不便與損失。由於選址是一項長期性投資，一旦確定下來就不能隨意更改，因此規劃其位置前必須進行深入的調查和周密的考慮。
1 選址問題基本介紹
選址問題，旨在選址目標區內確定設施的位置以及數量，並滿足一定的約束條件，使得目標最優。選址問題根據規劃區域，距離，目標有多種分類。
（1）規劃區域
連續選址問題：設施可以在全平面內任意范圍內選址。當選址區域過大，需考慮地球的球面效應時，規劃區域為曲面。
離散選址問題：設施的候選位置為有限個。
（2）距離
歐幾裡得距離：兩點間的直線距離；
方格線距離：兩個點上在標準坐標系上的絕對軸距之總和。
圖中綠色線段為兩點間的歐幾裡得距離，黃色線，藍色線，紅色線為方格線距離。方格線距離也稱為計程車幾何或城市區塊距離。
大圓距離：指的是從球面上兩點間的最短距離。
（3）目標
單目標選址：總運輸成本最低，總費用最低（包含運輸成本，配送中心固定費用等），中樞紐數目最少，總服務最優。其中最低成本的目標函數為MiniSum形式，總服務最優的多為MiniMax形式。如應急設施選址時目標為使需求點盡可能快的得到應急服務。
多目標選址：單目標選址中的多個組合，可通過將多個單目標加權轉化為單目標進行求解。
2 選址問題求解模型綜述
近年來，選址問題在物流管理，交通運輸，通信電訊，醫療服務等領域有瞭廣泛的研究和應用。下面介紹下幾種常用的模型。
2.1 重心法選址模型
重心法適用於選址區域為連續平面，以歐幾裡得距離作為距離形式，以總運輸成本最低為目標函數的選址問題。重心法選址模型來源於解析幾何，其將物流網絡中的需求點看作一平面內的點，把需求量作為重量，一般選取出這一平面內的需求點的重心點作為樞紐，以達到減少運輸成本的目的。
重心法目標函數為：
2.2 p-中值（p-median）模型
p-中值問題中，選址區域為有限點組成的集合，距離形式為任意形式，目標函數為總運輸成本最低。P-中值問題限制瞭樞紐個數為p個，每個需求點隻能與一個樞紐建立連接，可用以下模型表示：
式中，（1）保證瞭每個需求點僅與一個樞紐節點有連接，（2）保證瞭備選節點集中隻有被選中設為樞紐的節點可與需求點建立連接，（3）保證瞭樞紐個數為p個。
2.3 p-中心（p-center）模型
p-中心問題與p-中值問題的唯一不同點在於目標函數的形式。在p-中心問題中，目標函數為MinMax形式，目標是使每個需求點到最近設施的最大距離最小，通常用於消防站，警察局等應急設施的選址中。如消防站設施選址問題中，目標為使區域內的每個用戶都能在某個閾值時間內得到消防服務，在滿足約束的條件下，該閾值越小越好。
2.4 集合覆蓋模型
集合覆蓋模型是指在覆蓋所有需求點的前提下，使得總建設費用最低，當每個設施的建設費用相同時，問題簡化為樞紐數目最少，該模型可以表示為：
3 重心法求解介紹
下面我們輔以一個簡單的例子來詳細介紹重心法的求解過程：
如圖所示，共有五個需求點，其各自對應的V,R,X,Y如表所示，
3.1 單設施選址問題：
單設施選址問題的一般求解使用的是迭代重心法，註意到目標函數的形式為：
求偏導數可得：
則迭代法的整個流程為：
1） 使用等效重心公式，求得初始等效重心作為初始解，計算花費cost1
2） 使用迭代重心公式，求得迭代後的解，計算花費cost2
3） 比較cost1和cost2，如相等或相差小於閾值，迭代結束，此時的解即為最終的解；否則令cost1=cost2，回到步驟2）
結合例子來看，使用各個需求點的等效重心坐標作為初始解，
在此例子中等效重心坐標為 （12.4167，12.75）（圖中黑點所示），此時總費用為11323.90
要註意，初始解大部分情況下不是最優解。
舉一個簡單的例子，如在（0，0）處需求點P 需求量為10，（10，0）點處需求點Q需求量為1，根據直接重心法倉庫應選址在（1，0）處，此時花費為19。然而若直接選址在（0, 0）處，總花費僅為10。
當二十次迭代時，
可以看到，解趨於穩定，最終的花費為10861.30。
3.2 多設施選址問題
多設施選址問題較單設施選址問題復雜得多，一種常用解法是將其看成多個單設施選址問題來解決。對於一個p設施選址問題來說，求解步驟如下：
1） 隨機選擇p個初始坐標作為初始解，計算花費cost1
2） 使用當前解，將每個需求點分配個距離最近的設施，從而得到p個需求點簇，在每個需求點簇內迭代得解，計算花費cost2
3） 比較cost1和cost2，如相等或相差小於閾值，迭代結束，此時的解即為最終的解；否則令cost1=cost2，令迭代後的解作為當前解，回到步驟2）
以p=2為例，
初始解花費為10534：
迭代二十次後，解已經穩定，此時最終解為9302.43：
3.3其他求解方法
上文介紹瞭重心法求解單設施選址問題和多設施選址問題，但重心法的應用場景有限，僅適應於約束簡單的選址問題，當問題變得復雜，約束條件增加或目標函數改變時就難以適用，本節簡單介紹瞭一些方法求解更復雜的選址問題。
1.解析解
求解純數學模型，獲得最優解。然而本文提到的幾個選址問題均為NP-Hard問題，在問題規模較小時可通過CPLEX、Gurobi等求解器求解，但隨著問題規模擴大，在多項式時間內無法獲得解析解。
2.近似解
該方法是解析解的改編方法，常見的方式為采用松弛算法將約束吸收到目標函數中，減少求解的復雜程度，減少求解時間，但同樣無法應對大規模問題。
3.啟發式算法
該方法是較為常用的求解NP-Hard問題的方法，如遺傳算法、蟻群算法、粒子群算法等，思路是隨機產生多個初始解，通過特殊的迭代尋優規則進行優化並更新狀態，到達一定迭代次數或者其他終止條件時結束。此類算法在應對大規模問題時往往求解時間短，一般均能得到一個較優的可行解，確點是容易陷入局部最優，無法得到最優解，同時求解過程與問題高度相關，改變問題結構對算法影響很大，難以擴展。
4.仿真法
對於大型、復雜的選址問題，可通過仿真的方式重現系統活動。一般而言，采用仿真時需要對現實情況有較好的統計，獲取一些關鍵參數的統計分佈，對實踐的要求較高。與其他方法相比，仿真方法對計算機的算力要求較小，不需要嚴格的編程。
4 悠樺林在倉儲選擇的實踐
4.1.倉儲資源規劃與佈局項目
由於業務擴張需求，某公司希望在湖南省內進一步優化當前的供應鏈倉網佈局: 其中幾個重要板塊包括如何在考慮現有銷售信息和倉儲佈局下，增添新的前置倉庫以滿足業務的增長需求；如何根據歷史訂單數據/倉儲成本/運輸價格，尋找供應鏈成本最低模型與最優庫存策略；如何基於當前倉網佈局與其他可獲得信息周期性地預測庫存與峰值，並可視化，等等。在該項目中，悠樺林基於大規混合整數規劃模型，開發客戶可視化前端，力圖建立全面的倉網規劃能力，為倉儲網絡決策的科學性和精準性提供系統支持。
4.2.項目背景回顧
本文著重介紹其中的前置倉庫選址問題: 即如何在諸多條件約束下(具體參見下一節)，選擇數量最少的新前置倉庫地址，以滿足對整個湖南省的門店的服務支持。同時輸出每個門店的具體地理位置。
4.3. 前置倉選址方案
該混合整數規劃的建模思想為2.4節的集合覆蓋模型的加強衍生升級版。這裡主要想介紹的是這個項目所特有的若幹約束項/前提條件，包括但不限制於
· 前置倉所選地址的最大范圍邊界(湖南省)
· 每個前置倉服務半徑為150KM的圓
· 一個門店僅能被一個前置倉服務且總覆蓋率至少達到95%
· 每個門店所需總量額的范圍上下限
同時設定成本系數，包括但不限制於
· 倉庫存儲成本
· 倉庫與門店間的運輸成本
優化目標
· 最小化倉庫數量
輸出結果
· 倉庫數量與每個倉庫對應的地理位置
此外，悠樺林額外在這裡為該公司提供瞭兩種可選約束條件下的優化策略與結果：
· 所有客戶一視同仁，至少滿足95%客戶服務水平，此時優化結果為11倉
· 更好的服務大客戶，至少滿足95%需求覆蓋率，此時優化結果為8倉
最終，對比兩種優化結果，第二種可選約束條件下總倉數更少且總距離最短，以下為兩種結果對比:
在該項目中，悠樺林基於大規模混合整數規劃模型，為該公司提供瞭最優化的前置倉庫選址方案，同時為客戶提供瞭多種可選約束條件，與相應的不同種決策方案。以上倉庫選擇問題為悠樺林為該公司指定的供應鏈網絡全局規劃的一個重要環節，為全網佈局預測與優化提供輸入。
參考文獻：
Facility Location and Strategic Supply Chain Management, Prof. Dr. Stefan Nickel, 2008-2009
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