題1如圖1-1-1所示，直角三角形ABC在豎直平面內，平面內全部光滑，包括三條三角形邊，斜邊AC與水平邊BC之間的夾角是α，一質點從A點由靜止出發，在重力作用下到達C點。當所循路徑為從A經AB和BC時，從A到B需時t1,從B到C需時t2。當所尋路徑為AC時需時t3，假定質點拐折時，不花費時間且隻改變速度方向，速度大小不變。
問題1：為使循上述兩條路徑由A到C所需時間相等。及使T1+T2=T3是問角α應為多大？
問題2：設角α取上述值，質點隻能在三角形范圍內沿豎直路徑和水平路徑從A點到達C點。顯然有無窮多種選擇，試問什麼路徑花費的時間最多？什麼路徑花費的時間最少，所需的最長時間與最短時間之比是多少？
解：問題1 設AC=L 則AB=Lsinα BC=Lcosα
對質點受力分析，以及運用運動學公式可知：
將（3）式帶入（1）式可得：
將（4）式和（3）式帶入（1）式可得：
由於滿足
所以有：
即
兩邊平方得：
即
由於
則
即得到
問題2 根據題目的意思，可建立如圖所示的坐標系，並隨意畫一條路徑
質點從A點到達C點的時間是每段路徑時間的和，每段路徑分為豎直和水平兩種，那麼總時間也可以是豎直路徑時間和水平路徑時間的和，由於在拐點處，質點速度大小不變，隻是改變方向，所以豎直路徑時間是和質點直接從A點到B點的時間相等的，即是t1,水平路徑時間是多段水平路徑時間的和，由於拐點的位置不同，以及各段水平路徑的長度可變，所以總的時間變量是由水平路徑時間決定的。
從圖中我們可以發現，每段水平路徑的速度都是由該段路徑的y值決定的，且我們知道，y值越大，速度也越大。
如圖所示，藍色路徑和黃色路徑的每段水平路徑長度都是相等的，但由於每段藍色路徑的y值更大，則速度更大，所需時間更少，那麼我們會發現，隻要每段路徑的y值越大，那麼時間就會越少，最終可以推出，沿路徑A豎直到B再沿水平到C是時間最短的，原因在於此時的每段水平位移的速度都是一樣且最大的，由於豎直時間都是相同的，那麼此時水平時間最短，則總時間最短。
由（4）式和（5）式可知
由於
則最短時間是：
路徑是A直到B，再直到C。
現在再如圖所示
我們將每段深藍色的水平路徑和黃色的水平路徑比較發現，在相同長度下，黃色的路徑有一段或者兩段實在深藍色的下面的，那麼這些段的速度更大，時間就會更少，也就是說，對於任意路徑，我們都可以這樣畫一條深藍色路徑，使得時間更長，也就是說最長時間的路徑是在所有深藍色路徑中尋找的，再如圖所示
灰色的路徑是深藍色路徑取中點構成的，我們可以發現，每段深藍色路徑都有一半是在灰色路徑下面的，這會導致深藍色路徑時間更短，即灰色路徑時間跟長，以此類推，可以再利用灰色中點做路徑，時間更長，取極限下，可以如圖所示
根據運動學公式可知
即
又由幾何關系可知
則dx段水平路徑的時間dτ滿足
兩邊定積分可得
計算的
根據（1）式可知
即可得
則最長時間為
路徑為如圖所示灰色路徑，dx dy都趨於0
則最長時間與最短時間的比值為