第一步，識別類型
第二步，分類求解
分支一：frac{0}{0}型與frac{∞}{∞}型
解題思路：若分子分母即可導，則可用洛必達，計算過程中可使用等價無窮小化簡計算。
分支二：0·∞型
解題思路：通常恒等變形為frac{0}{frac{1}{∞}}或frac{∞}{frac{1}{0}}，再洛必達進行計算。
分支三：∞-∞型
解題思路：有分母時，通分計算；沒有分母時，構造分母，再通分計算。
分支四：∞^{0}、0^{0}與1^{∞}型
解題思路：lim u ^ { v }改e ^ { ln v ln u }
特殊的，對於1^{∞}型，有
lim u ^ { v } = e ^ { lim v ln u } = e ^ {l i m v ln ( 1 + u – 1 ) } = e ^ {li m v ( u – 1 ) }
洛必達法則
定義
使用條件
- 未定式為frac{0}{0}或frac{∞}{∞}型
- 分子分母皆可導
- 積分結果存在或無窮大
【註】
若函數n階可導，則最多可用n-1次洛必達
對lim _ { x rightarrow a } frac { f ( x ) } { F ( x ) } = lim _ { x rightarrow a } frac { f ^ { prime } ( x ) } { F ^ { prime } ( x ) }，右邊存在，左邊必存在；左邊存在，右邊不一定存在。
常見的化簡思路
①提出不為0的因式
②等價無窮小替換，x→0時
x sim sin x sim tan x sim arcsin x sim operatorname { a r c t a n } x sim ln ( 1 + x ) sim e ^ { x } mbox{ – } 1
1 – cos ^ { a } x sim frac { a } { 2 } x ^ { 2 }（1 – cos x sim frac { x ^ { 2 } } { 2 }）
( 1 + x ) ^ { a } ～1 mbox{ – } a x
a ^ { x } mbox{ – } 1 sim x ln a
sqrt { 1 + x } – 1 sim frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 }
③有根式時，考慮根式有理化
④泰勒公式
展開原則
- frac{A}{B}型，上下同階原則
『分母（分子）是x的k次冪，則把分子（分母）展開到x的k次冪』
- A-B型，冪次最低原則
『將A、B分別展開到他們的系數不相等的x的最低次冪為止』
必備的泰勒公式
⑤中值定理
積分中值定理：統一分子分母的形式
拉格朗日中值定理：f(a)mbox{ – }f(b)型，特別的
ln frac { a } { b } = ln a – ln b，f ( a ) = f ( a ) mbox{ – } 0
⑥重要公式
