阿基米德、牛頓和高斯這三個人，在大數學傢中自成一個等級，試圖按照功績排列他們的位置，不是普通人做得到的。這三個人都在純數學和應用數學方面掀起瞭浪潮：阿基米德評價他的純數學高於它的應用數學；牛頓把他的數學發明應用於科學；而高斯宣稱，做純數學還是應用數學，對他都一樣。然而，高斯還是把高等算術（他那個時代最不實用的數學研究），推崇為全部數學的皇後。
數學王子高斯是一個貧窮人傢的子弟，1777年4月30日出生在德意志不倫瑞克的一個村舍裡。在整個數學史中，從沒有過像高斯那樣早熟的人。人們不知道阿基米德何時顯露出天才的跡象。牛頓最早表現出他極高的數學才能時，可能也沒有被註意到。雖然有些難以置信，但是高斯在3歲以前就顯示出瞭他的才能。晚年的高斯喜歡開玩笑，說他在會說話以前就知道怎樣數數瞭。他終生保持著作復雜心算的非凡能力。
高斯剛過7歲就進瞭他的第一所學校。高斯10歲時開始上算術課。在早期的學習中，高斯發展瞭一生中的一個主要興趣。他很快掌握瞭二項式定理，
其中n不一定是正整數，它可以是任何數。如果n不是正整數，右邊的級數是無窮的，為瞭說明這個級數何時真正等於（1+x）^n，必須研究對x和n需要加什麼限制，才能使無窮級數收斂到一個確定的有限的極限。因為，如果x=-2，n=-1，就得出荒唐的結論（1-2）^-1，就是（-1）^-1，也就是-1，等於1＋2＋2^2＋2^3＋…，以至無窮；那就是說，-1等於“無窮數”，這顯然是荒唐的。
高斯與二項式定理早期的相遇，鼓舞他做出一些最偉大的工作，他成瞭第一個"嚴格主義者"。當n不是一個大於零的整數時，二項式定理的證明甚至在今天也超出瞭初級教科書的范圍。高斯不滿意書裡的證明，高斯又作瞭一個證明，這使他開始進入數學分析。分析學的真正精髓在於正確使用無窮過程。
高斯將要改變數學的整個面貌。牛頓、萊佈尼茨、歐拉、拉格朗日、拉普拉斯——都是他們各自時代的大數學傢————實際上對於現在可以接受的、涉及無窮過程的證明毫無概念。是高斯第一個清楚地看到，可能會導致像“-1等於無窮大”這樣荒唐的結論的"證明"，根本就不是證明。即使在某些情形下，一個公式提供瞭沒有矛盾的結果，它在數學中也是沒有地位的，除非確定瞭嚴格的條件，它在這些條件下能不斷地產生沒有矛盾的結果。
高斯賦予分析學的嚴格性，在他自己的習慣和他的那些同代人———阿貝爾、柯西，以及後繼者——魏爾斯特拉斯、戴德金——的習慣的影響下，漸漸使數學的其他領域相形見絀，高斯以後的數學成瞭與牛頓、歐拉和拉格朗日的數學完全不同的東西。
從積極的意義上說，高斯是一個革命者。12歲時他已經用懷疑的眼光看歐幾裡得幾何基礎瞭；到16歲，他已經第一次瞥見瞭不同於歐幾裡得幾何的另一種幾何。一年以後，他開始探索性地批判數論中他的前輩們感到滿意的那些證明，並從事於填補空白。算術是他最早獲得成功的領域，成瞭他發表巨著的陣地。高斯對於什麼是證明的本質，具有確信無疑的感知，同時又具有無人超越的、豐富的數學創造能力。這二者的結合是無堅不摧的。
高斯曾受到哲學研究的強烈吸引，不過他不久就在數學中找到瞭更迷人的吸引力，這對科學是幸運的。高斯在進大學時已熟練掌握瞭拉丁文，他的許多最偉大的著作都是用拉丁文寫的。
高斯在卡羅林學院學習瞭三年，在這期間他掌握瞭歐拉、拉格朗日較為重要的著作，而最重要的是牛頓的《原理》。一個偉大人物所能得到的最高贊揚，是從與他同一等級的另一個偉大人物那裡得到的贊揚。高斯作為一個17歲的少年，從來沒有低估牛頓的功績。其他人——歐拉、拉普拉斯、拉格朗日、勒讓德——出現在高斯的拉丁文中的稱贊是"輝煌的"；而牛頓則是"最高的"。
還在卡羅林學院時，高斯就開始瞭他對高等算術的研究，這些研究後來使他流芳百世。他那非凡的計算能力起到瞭關鍵的作用。他直接探究數本身，用它們做實驗，利用歸納法發現瞭一些深奧的一般定理，這些定理，甚至他也要費一番氣力才能證出來。用這種方法，他重新發現瞭"算術的瑰寶”，“黃金定理”，歐拉也曾用歸納法發現過它，人們把它叫做二次互反律，高斯是第一個證明它的人。
整個研究起源於一個許多算術初學者都會向自己提出的簡單問題：在循環小數的每一周期中有多少數字？高斯為瞭找到說明這個問題的線索，對n從1到1000計算瞭所有的分數1/n的小數表示。他發現瞭偉大得無與倫比的東西——二次互反律。因為陳述很簡單，我們將描述它，同時介紹高斯發明的、在算術的術語和記號中的一個革命性改進，同餘。下面涉及的所有的數都是整數。
這個方法的優點在於，它使我們想起瞭寫代數方程的方法。用一種簡潔的記號表示算術的可除性，讓我們把在代數中導致有趣結果的某些方法，引進算術中。例如，我們能夠把一些方程相“加”，我們發現倘若模都是相同的，同餘式也能"加"起來，得到另外一些同餘式。
設x表示一個未知數，r和m表示給定的數，r不能被m整除。是否有一個x使得
如果有，r就稱作一個m的二次剩餘，如果沒有，r就稱作一個m的二次非剩餘。
如果r是m的二次剩餘，那麼必定能夠找到至少一個x，其平方被m除餘r；如果r是m的二次非剩餘，那麼就沒有其平方被m除餘r的x。這些就是上面定義的直接結論。
舉例說明：13是17的二次剩餘嗎？如果是，必須能夠找到同餘。
用1，2，3，…去試，我們發現x=8，25，42，59，…都是解，所以13是17的一個二次剩餘。但是x^2=5（mod17）沒有解，所以5是17的一個二次非剩餘。
現在自然要問，一個給定的m的二次剩餘和二次非剩餘是些什麼呢？也就是說，在x^2≡r（modm）中給定m，當x取所有的數1，2，3，…時，什麼樣的數r能夠出現，什麼樣的數r不能出現呢？
不用費太大力氣就能表明，要回答這個問題，限定r和m都是素數就足夠瞭。所以我們重新說明這個問題：如果p是一個給定的素數，什麼樣的素數q能使同餘x^2≡q（mod p）可解呢？在算術的目前狀態下，這要求得太多瞭。不過，這種情形並不是毫無希望的。
在下面這對同餘式中存在著美妙的"互反"，
其中p和q都是素數：如果q≡1 mod 4，那麼同餘x^2≡p mod q是可解的當且僅當x^2≡ q mod p是可解的。如果q≡3 mod 4和p ≡ 3mod 4，那麼同餘x^2= p mod q是可解的當且僅當x^2≡-q mod p是可以解決的。
它是不容易證明的，事實上，它曾使歐拉和勒讓德困惑過，高斯則在19歲時給出瞭第一個證明。由於這個互反律在高等算術以及代數的許多高深部分中非常重要，高斯試圖找到它的根源。他反復考慮瞭許多年，直到他一共給出瞭6種不同的證明，其中有一種取決於正多邊形的尺規作圖。
高斯在1795年10月他18歲時，離開卡羅林學院，進瞭哥廷根大學，那時他仍然沒有決定是以數學還是以哲學作為他畢生的事業。他已經發現瞭（18歲時）“最小二乘”法，這個方法今天在大地測量學、在觀測的簡化、在實際上要從大量測量結果推導出最可能值的所有工作中，都是不可或缺的。高斯與勒讓德共享這一榮譽，勒讓德在1806年獨立發表瞭這個方法。這項工作是高斯對觀測誤差理論感興趣的開始。誤差正態分佈的高斯規律，以及和它一起的鐘形曲線是統計學中不可或缺的。
轉折
1796年3月30日標志著高斯一生的一個轉折點，在那一天，距他20 歲生日正好一個月，高斯明確地決定瞭從事數學。學習語言仍然是他終生保持的一項愛好，但是哲學在3月的這個難忘的一天，永遠失去瞭高斯。
同一天高斯開始記他的科學日記，這些日記是數學史上最寶貴的文件之一。第一篇記錄瞭他的偉大發現。隻是到瞭1898年，高斯去世後43年，這本日記才在科學界傳播，當時哥廷根皇傢科學院從高斯的一個孫子手裡借來這本日記，進行鑒定研究。高斯在1796年至1814年這段多產期間的所有發現並沒有被全部記錄下來。但是許多匆匆忙忙記下來的點滴，足以確立高斯在這樣一些領域——例如橢圓函數——中的領先地位。
有幾則日記表明，日記完全是它的作者的私事。如1796年7月10日的日記上，記著
翻譯過來，這是模仿阿基米德歡呼“Eureka（找到瞭）！”它說明每一個正整數都是三個三角形數的和，一個三角形數是數列0，1，3，6，10，15，…中的一個，其中（0以後的）每一個都具有1/2n（n+1）這個形式，n是任意正整數。另一種說法是，每一個形式為8n+3的數都是三個奇數平方的和：
要想證明它是不容易的。
更難理解的是1796年10月11日的日記中神秘的一則，"Vicimus GE-GAN"。這次高斯縛住瞭什麼樣的怪龍呢？再有，1799年4月8日，他用整齊的方框圈起REV.GALEN時，他征服瞭什麼樣的巨人呢？雖然這些東西的意義已經永遠失去瞭，但是留下來的那144個，大多數是夠清楚的。特別是有一個具有頭等的重要性：1797年3月19日的日記表明，高斯已經發現一些橢圓函數的雙周期性。他那時還不到20歲。再有，一則較晚的日記表明，高斯已經看出瞭一般情形的雙周期性。要是他發表這個結果，就足以使他名聲顯赫。但是他從來沒有發表它
為什麼高斯沒有披露他的偉大發現呢？高斯說，他從事科學著作，隻是出於他天性的最深層的激勵，至於這些著作是否要為其他人而出版，對他來說，完全是次要的事情。高斯有一次對一位朋友說的另一番話，解釋瞭他的日記和他遲遲不發表的原因。他說，在他26歲以前，有那樣一堆勢不可擋的新思想在他腦海中翻騰，以致他幾乎無法控制它們，他的時間隻來得及記錄下來一小部分。這本日記隻包含一些曾經使他煞費苦心地思考瞭好幾個星期的研究成果的最後的簡短說明。
高斯認為自己留下來的都應該是完美的藝術品，增一分則多，減一分則少。他說，一座大教堂在最後的腳手架拆除和挪走之前，還算不上是一座大教堂。高斯抱著這樣的理想工作，他寧肯三番五次地琢磨修飾一篇傑作，也不願發表他很容易就能寫出來的許多傑作的概要。他的座右銘
結果，他的一些著作必須等待很有天賦的解釋者作出解釋後，一般的數學傢才能夠理解它們，並向前邁進。他的同代人請求他放寬他那僵硬無情的完美，以便數學可以前進得更快些。但是高斯從沒有放寬。直到他去世以後很久，人們才知道，有多少19世紀的數學，高斯在1800年以前就已經預見並領先瞭。要是他公佈瞭他知道的結論，那麼，很可能目前的數學要比現在的狀況前進瞭半個世紀或者更多。阿貝爾和雅可比就能夠在高斯停下來的地方開始，而不必把他們大部分最好的精力用在重新發現高斯早在他們出生以前就知道的東西上瞭，非歐幾何的創造者們就能夠把他們的天才轉到其他事情上瞭。
談到他自己，高斯說他"隻是一個數學傢"，這對他是不公正的，他的第二個座右銘
真正概括瞭他獻身於他那個時代的數學和物理科學的一生。
在哥廷根大學的3年是高斯一生中著述最多的時期（1795——1798）。他從1795年起就一直在構思一部關於數論的偉大著作。到1798年，這部《算術研究》實際上完成瞭。期間他還結識瞭兩位數學傢沃爾夫岡·鮑耶和約翰·弗裡德裡希·普法夫（當時德國最著名的數學傢）。
在敘述《算術研究》之前，我們要看一下高斯的博士論文，《每一個單變量的有理整函數都能分解成一階或二階實因子的一個新證明》。
這篇論文所證明的就是我們現在所說的，代數基本定理。高斯證明瞭任何代數方程的所有的根都是形式為a＋bi的數，i是虛數。這種新類型的"數"a＋bi叫復數。
"虛數"這個詞是代數最大的災難，但是由於它早已得到公認，數學傢們無法取消它。其實根本就不該用它。很多數學書籍用旋轉給虛數作瞭一個簡單的解釋。把i×c（c是實數）解釋成線段Oc繞0點旋轉一個直角，Oc就旋轉到OY上；再用i去乘一次，即i×i×c，把Oc再旋轉一個直角，這樣總的效果就是把Oc旋轉瞭兩個直角，致使+Oc成瞭-Oc。作為一種運算，用i×i去乘的乘積與用-1去乘的乘積有同樣的效果，用i去乘的乘積與旋轉一個直角有同樣的效果。
高斯認為，每一個代數方程有一個根的定理非常重要，因而他給出瞭4種明確的證明，最後一個證明是在他70歲時給出的。今天，一些人會把這個定理從代數轉移到分析。甚至高斯也假定多項式的圖形是連續曲線，而且如果多項式是奇次的，圖形一定至少與坐標軸相交一次。對於任何一個初學代數的人，這都是顯然的。但是在今天，沒有證明它就不是顯然的，而要試圖證明它，又一次出現瞭與連續和無窮有關的那些困難。就像x^2-2=0這樣簡單的方程的根，也不能在任何有限步內精確地計算出來。
《算術研究》是高斯的第一部傑作，一些人認為是他最偉大的傑作。在這之後，他就不再把數學作為唯一的興趣瞭。當該著作在1801年（高斯那時是24歲）出版之後，他把他的活動范圍擴大到天文學、大地測量學、電磁學等領域中的數學和實用兩個方面。他在後期感到後悔的是一直沒有抽出時間來寫出他年輕時計劃寫的第二卷。這本書有7節。
前言的第一句描述瞭這本書涉及的大致范圍。
前3節論述同餘式理論，特別詳盡地討論瞭二項同餘式
這個精彩的算術理論，與相應的二項方程x^n=A的代數理論有許多相似之處，但是它獨特的算術部分，比之與算術毫無相似之處的代數，更是無與倫比地豐富和困難。
在第4節，高斯發展瞭二次剩餘的理論。在這裡可以找到二次互反律的第一個發表瞭的證明。證明是令人驚奇地用數學歸納法得出的，是在任何地方都能找到的那種巧妙的邏輯的一個極好的例證。
第5節一開始從算術的觀點討論二元二次形式，接著又討論瞭三元二次形式，並發現它對完成二元理論是必不可少的。二次互反律在這些困難的計劃中起瞭十分重要的作用。對於所說的第一種形式，一般的問題是要討論不定方程
的關於x，y的整數解，其中a，b，c，m是任意給定的整數；對第二種形式，研究的主題是方程
的整數解x，y，z，其中a，b，c，d，e，f，m是給定的整數。這個領域中的一個看起來容易、實際上困難的問題，是要給a，c，f，m施加能夠保證不定方程
的整數解x，y，z存在的充分必要的限制。
第6節把前面的理論應用到各種各樣的特殊情形，例如mx^2+ny^2=A 的整數解x，y，其中m，n，A是任給的整數。
這部著作的頂峰是第7節，高斯應用前面的發展，特別是二次同餘理論，精彩地討論瞭代數方程x^n+1，其中n是任意給定的整數，從而把算術、代數和幾何一起編織成瞭一幅完美的圖案。方程x^n=1是畫正n邊形，或者n等分圓周的幾何問題的代數公式；算術的同餘x^m≡1（mod p），是貫穿代數和幾何，並給這個圖案以簡單意義的線索。
以前有些人——費馬、歐拉、拉格朗日、勒讓德和其他一些人，用其他方法做過所有這一切中的許多部分，但是高斯完全從他個人的觀點進行討論，添加瞭許多他自己的東西，並從他對有關問題的一般公式和解答，推出瞭他的前輩們得出的許多孤立的結果。例如，費馬用他的"無窮下降"的方法，證明瞭每一個形為4n＋1的素數是兩個數的平方和，並且表示成這種和的方式隻有一種；他的這個美妙的結論，是高斯對二元二次形式的一般論述的自然結果。
高斯晚年時說，"《算術研究》已經成為歷史"。《算術研究》的出版給高等算術提出瞭一個新方向，這樣，在17世紀和18世紀是一堆五花八門、互不相幹的特殊結果的數論，現采用瞭統一的形式，上升到在數學科學中與代數、分析和幾何同等的地位。
高斯的學生狄利克雷有一個令人驚奇的定理，即每一個算數級數
包含著無窮多個素數，其中a，b是沒有比1大的公因子的整數。這是由分析證明的，這一點本身就是一個奇跡，因為定理考慮整數，而分析論述連續的非整數。
我們可能要問，高斯為什麼他從來沒有去解決費馬大定理。他自己作瞭回答：
高斯接著說，這個問題使他回想起瞭他對高等算術進行偉大擴展的一些原有想法。這無疑是指庫默爾、戴德金和克羅內克後來將要各自獨立發展起來的代數數的理論。
谷神星
高斯一生的第二個偉大的階段開始於19世紀的第一天，這一天也是哲學史和天文學史上用紅字標明的一天。自從1781年威廉·赫歇爾爵士發現瞭天王星，因而把那時已知的行星數目增加到哲學上令人滿意的7個以來，天文學傢們一直孜孜不倦地搜索太空，尋找太陽傢族的其他一些成員。按照波得定律，它們應該存在於火星和木星的軌道之間。搜索一直毫無結果，直到朱塞佩·皮亞齊在19世紀的第一天，觀察到他一開始誤認為是一個正接近太陽的小彗星的天體，但是它不久就被認出是一顆新的行星——後來命名為谷神星，今天所知道的一大群很小的行星中的第一顆。
谷神星的發現和著名哲學傢弗裡德裡希·黑格爾發表對尋找第八顆行星的天文學傢的諷刺性攻擊，正好在同一時候。黑格爾斷言，要是他們稍稍註意一下哲學，立刻就會明白，隻能有七顆行星，不多也不少。
1844年11月1日高斯寫信給他的朋友舒馬赫說：
高斯在寫這封信時已經充分掌握瞭非歐幾何，非歐幾何本身就足以駁倒康德關於"空間”和幾何的說法。決不能因為有關純數學的術語的這個孤立的例子，就認為高斯不瞭解哲學。他瞭解。一切哲學上的進展對他都有著極大的魅力，盡管他常常不贊成取得這些進展所使用的方法。他曾經說過，
谷神星對於數學是一個災難。要瞭解高斯為什麼要那樣極嚴肅認真地對待它，我們必須記住，在1801年，牛頓的龐大形象（已去世70多年）仍然給數學蒙著陰影。當代的“大”數學傢們，是那些孜孜不倦地完成牛頓的天體力學大廈的人，如拉普拉斯。數學依然被當做數理物理學。阿基米德在公元前3世紀所看出的數學作為一門獨立學科的幻象，已經在牛頓的光輝照耀下消失瞭。直到年輕的高斯再次抓住這個幻象，數學才被承認是一門獨立的科學。正當他將要成為數學王國的未經耕耘的荒野上，開始緊張地工作的時候，小行星谷神星，在他24 歲時吸引瞭他無與倫比的智慧。
- 谷神星（ceres）
一顆新的行星，在它極難觀測到的位置被發現瞭。要從能夠得到的少得可憐的數據，計算出行星的軌道，這項工作就是拉普拉斯本人也會感到困難。牛頓曾經宣稱，這種問題屬於數理天文學中最困難的問題。需要確立一條軌道，其精確度要足以保證谷神星在環繞太陽旋轉時能用望遠鏡觀察到，光是確立這條軌道所需要的算術，就很可能難倒今天的計算機。
高斯，這位空前的數學之神，在他的日記裡描述的那些隱約閃現的、難以捉摸的東西。谷神星被重新發現瞭，恰恰是在年輕的高斯經過極其巧妙和詳細的計算，預計一定會找到它的地方發現的。歐拉需要三天時間才能完成的計算（據說正是這種計算使他雙目失明），高斯隻需要幾小時。將近20年間，他自己的大部分時間都花在天文學計算上瞭。
但是甚至這樣使人變得遲鈍而乏味的工作，也不能磨滅高斯的創造天才。1809年他發表瞭他的第二部傑作《天體沿圓錐截線繞日運動的理論》，這部著作根據觀測得到的數據，包括困難的攝動分析，對確定行星和彗星軌道作瞭詳盡的討論，制定瞭在以後許多年中支配計算天文學和實用天文學的規律。
1807年，高斯被任命為哥廷根天文臺臺長。哥廷根天文臺在當時能夠付給高斯的薪俸不多，但是足夠滿足高斯和他傢庭的簡單需要。正如他的朋友馮·瓦爾特肖森所寫的：
解析函數
如果高斯公開瞭他向貝塞爾吐露的一項發現，那麼1811年可能就是可以與1801年（《算術研究》出版的那一年）相比的數學上的裡程碑瞭。高斯已經完全弄懂瞭復數和它們作為解析幾何平面上的點的幾何表示，他向自己提出瞭研究這種數的、今天稱為解析函數的問題。
復數z=x＋iy。當x，y以任何指定的連續方式各自取實值時，點z就在平面上移動。當給z指定一個值時，取任何一個包含z的單值表達式，諸如z或1/z 等等，稱為z的一個單值函數。我們用f（z）表示這樣一個函數。於是，如果f（z）是特定的函數z，使得
那麼顯然當給z指定任何值，例如x=2，y=3，這個f（z）就因此確切地決定瞭一個值，z=-5＋12i。
並不是所有的單值函數f（z）都要在單復變量函數的理論中進行研究；隻是單演函數被挑選出來進行詳盡的討論。
讓z移動到另一個位置z'。函數f（z）取另一個值f（x'），由x'代替得到。現在用變量的新值和舊值之差去除函數的新值和舊值之差f（z’）-f（z），這樣就有
正像在計算一個圖形的斜率以找出圖形所表示的函數的導數時做的那樣，這裡我們讓z'無限接近z，從而f（z'）同時接近f（z）。但是此處出現瞭一個值得註意的新現象。
x'怎樣移動到與z重合，在這裡沒有一條統一的途徑，因為z'在與z重合之前，可以經由無限多個不同的路徑，在復數平面上移動。我們無法指望當z'與z重合時，（f（z'）-f（z））/（z'-z）對所有這些路徑的極限值都一樣，一般說來是不一樣的。
一致性和單演性是單復變量解析函數的特殊的特征。
流體運動理論的廣闊領域，是由單變量解析函數處理的，由這個事實能夠推斷出解析函數的一些重要意義。假定這樣一個函數f（z）被分成"實"部和"虛"部，比如說f（z）=U＋iV。對於特殊的解析函數z^2，我們有
想象一個在平面上流動的流體層。如果流體的運動沒有渦流，運動的流線就可以通過畫出曲線U=a，其中a是任意的實數，由某個解析函數f（z）得到，同樣可以由V=b得到等位線。讓a，b變動，我們就得到一個完整的運動圖形，其區域我們想要多大就有多大。對於一個給定的情形，比如說圍繞著一個障礙物流動的流體的情形，問題的困難部分在於選擇什麼樣的解析函數。這樣整個事情就倒瞭過來：研究一些簡單的函數，尋找它們適合的物理問題。非常奇怪的是，這些人為準備的問題，有許多被證明在空氣動力學和流體運動理論的其他實際應用中是最有用的。
單復變量解析函數的理論，是19世紀數學取得成功的最偉大的領域之一。高斯在給貝塞爾的信中，說明瞭這個理論中的基本定理有多麼重要，但是他沒有公開它，而留待柯西和後來的魏爾斯特拉斯去重新發現。由於這是數學分析史上的一個裡程碑，我們要簡單地描述它。
想象單復變量z在一個沒有扭結的有限長的閉曲線上移動。在曲線上標出n個點P1，P2，…，Pn。使得P1P2，P2P3，P3P4，…，PnP1的每一段都不超過某個預先指定的有限長度l。在每一個這樣的線段上，選一個不在線段的兩端的點；對相應於該點的z的值，形成f（z）的值；把這個值與點所在的線段的長度相乘。對於所有的段都這樣做，再把結果加起來。最後當段的數目無限增加時，取這個和的極限值。這給出瞭f（z）對於曲線的"線積分”。
這個線積分何時為零呢？為瞭使線積分為零，充分的條件是f（z）是在曲線上和曲線內的每一點z都解析（一致和單演）。
超越幾何級數
這就是高斯在1811年告訴貝塞爾的偉大定理，它和同一類型的另一個定理，在獨立地重新發現它的柯西手裡，將以推論的形式產生分析學中的許多重要結果。
1812年，拿破侖的大軍拼命地掙紮著進行穿越冰凍平原的後衛戰鬥，也正是在這一年，高斯發表瞭另一項偉大的工作，這是關於超越幾何級數
的工作，其中虛點表示級數按照所示的規律無限繼續下去，下一項是
這個研究報告是另一個裡程碑。正如已經指出的，高斯是現代第一個嚴格主義者。在這項工作中，為瞭使這個級數收斂，必須給a，b，c，x加以一些限制。它作為特殊情形，包括瞭分析中的許多重要的級數，例如，用於在牛頓天文學和數理物理學中反復出現的對數、三角函數和其他一些函數的計算和造表中的級數；廣義的二項式定理也是一個特例。通過研究這個級數的一般形式，高斯一舉解決瞭許多問題。從這項工作中，發展出瞭對19世紀物理學中的微分方程的許多應用。
雖然由於篇幅所限，無法討論高斯對純數學所作貢獻的許多例子，但是甚至在最簡單的概述中，有一個例子也是不容忽視的，這就是關於雙二次互反律這項工作。它的重要性在於，它給高等算術提供瞭一個完全出人意料的新方向。
既然已經解決瞭二次互反的問題，高斯考慮任何次數的二項同餘式的一般問題就是很自然的瞭。設m是一個給定的、不能用素數p整除的整數，且設n是一個已知的正整數，如果還能找到一個整數x，使得
那麼就稱m為p的一個n次剩餘；當n=4時，m就是p的一個雙二次剩餘。
二次二項同餘（n=2）的情形，對n超過2時幾乎沒有什麼提示。高斯要討論這些高次同餘，研究相應的互反律，即x^n≡p（mod q），x^n≡q（mod p）之間（關於可解或不可解）的相互關系。特別是n=3，n=4的情形是要研究的。
1825年的論文開辟瞭新天地。在經過多次無法忍受的錯誤之後，高斯發現，有理整數，1，2，3，…不適宜於雙二次互反律的論述；必須發明一類全新的整數。這些被稱為高斯復數，是所有那些形式為a＋bi的復數，其中a，b是有理數。為瞭說明雙二次互反律，必須對這些復整數的算術可除性規律作詳盡的初步討論。高斯作瞭這樣的討論，因而開始瞭代數數的理論。對於三次互反（n=3），他也用同樣的方式發現瞭正確的途徑。
高斯最喜愛的弟子愛森斯坦解決瞭三次互反問題。他還發現瞭雙二次互反律和橢圓函數理論的某些部分之間令人驚奇的聯系，高斯在這方面作過深入的研究。
高斯還在幾何和數學對大地測量學、牛頓引力理論和電磁學的應用方面，取得瞭同等重要的進展。一個人怎麼可能完成這樣大量的最高水平的工作呢？高斯說，"如果其他人也像我這樣思考數學真理，也像我這樣深入，這樣持久，那麼，他們也能作出我所作出的這些發現。"
高斯不由自主地專註於數學思想。他在和朋友們談話的時候，會突然沉默下來，沉浸在他無法控制的思想中，一動不動地站在那裡，茫然地凝視著周圍的一切。過後他控制住瞭自己的思想，有意識地把他的全部力量用於解決一個困難問題，直到成功為止。他一旦抓住一個問題，在征服它之前是不會放手的，盡管他可能會同時專註於幾個問題。
他在一個這樣的例子中，講述瞭他怎樣在長達4年之久的時間裡，幾乎沒有一個星期不花一些時間去試著解決一個確定的符號是正還是負，最後答案突然自己出現瞭。高斯經常在花費瞭幾天或幾個星期毫無結果地從事某項研究之後，在經過瞭一個不眠之夜繼續工作時，發現障礙消失瞭，全部解答清楚地閃現在他的腦海中。緊張而持久地集中精力的能力，是他過人之處之一。
這種在自己思考的世界中忘掉自己的能力，高斯與阿基米德、牛頓是相似的。在另外兩個方面，他也和他們不相上下：他具有精密觀察的天賦和科學獨創能力。這些才幹，使他能夠設計出他的科學研究所必需的儀器。大地測量學中的回照器就歸功於高斯，這是一個巧妙的裝置，信號可以利用反射光即刻實地傳播出去。回照器在當時是一大進步。在高斯手裡，他所用的天文儀器也得到瞭顯著的改進。為瞭用於他對電磁學的重要研究，高斯發明瞭雙線磁強計。最後，他在1833年發明瞭電報，並和與他一起工作的威廉·韋伯把它用來傳送消息。數學天才與第一流的實驗才能的結合，是全部科學中一種極為罕見的情形。
高斯本人極少關心他的發明可能有的實際用途。他像阿基米德一樣，寧要數學，也不要地上的全部王國。但是，韋伯清楚地看到瞭哥廷根的這個小小的電報對文明意味著什麼。我們記得鐵路在19世紀30年代初剛剛出現，韋伯在1835年就預言，"當全球都覆蓋上一張鐵路和電報的網時，這張網所提供的服務，就可以與人體神經系統的作用相當瞭，部分作為運輸的方法，部分作為以閃電的速度傳播思想和大事件的方法。"
高斯與勒讓德
有一次經歷使勒讓德成為高斯終身的敵人。高斯在他的《天體運動理論》中曾經提到他很早發現的最小二乘法。勒讓德在高斯之前，於1806年發表瞭這個方法。他懷著極大的憤怒寫信給高斯，實際上是指責他不誠實，並抱怨說高斯有那麼豐富的發現，原可以顧及體面，不必盜用最小二乘法——勒讓德視之為他自己最珍愛的東西。拉普拉斯加入瞭這場爭吵。他沒有說他是否相信高斯所肯定的確實比勒讓德領先10年或者更早，但是他保持他一向溫文爾雅的態度。
高斯顯然不屑於就這件事再爭論下去。但是他在給一個朋友的信中指出瞭證據，要是高斯不是那麼“傲慢而不屑於爭吵”，這個證據當時就可以結束這場爭論。他說："我在1802年就把這整個問題告訴奧伯斯瞭。"而如果勒讓德對此有所懷疑，他本可以問問奧伯斯，奧伯斯手上有手稿。
這次爭論對數學後來的發展是非常不利的，因為勒讓德把他沒有根據的懷疑告訴瞭雅可比，這樣就阻止瞭雅克比與高斯建立起親密的關系。在這場誤會中尤其令人遺憾的是，勒讓德是一個品德高尚的人，他本人是極為公正的。他命中註定要在一些領域裡被比他富於想象力的數學傢超過，他漫長而勤勞的一生，大部分都花費在這些領域中，而他的辛勞被年輕人——高斯、阿貝爾和雅可比——證明是多餘的。高斯每一步都走在勒讓德前面。然而當勒讓德指責高斯做事不公正時，高斯感到他本人陷入瞭困境。他寫信給舒馬赫，埋怨說，
高斯令人詬病的地方是，對於別人的偉大工作，特別是比較年輕的人的工作，缺乏熱誠。當柯西開始發表他在單復變量函數理論中的光輝發現時，高斯對它們置若罔聞，高斯沒有對柯西說一句贊揚或鼓勵的話，因為高斯本人在柯西開始這項工作以前很多年，就已達到瞭這個問題的核心。還有，當哈密頓關於四元數的著作在1852年引起他的註意時，他什麼也沒有說，因為這個問題的關鍵早已記在他30多年前的筆記中瞭。他保持沉默，沒有提出他的優先權。正如對他在單復變量函數理論、橢圓函數和非歐幾何中的領先地位一樣，高斯滿足於做瞭這些工作。
其他偉大貢獻
要闡述高斯對數學、純數學和應用數學的全部突出的貢獻，需要寫一本很厚的書。這裡我們隻能考慮一些還沒有提到的、比較重要的工作，我們將選擇那些給數學增添瞭新方法，或者圓滿解決瞭突出問題的工作。從粗略然而方便的時間表中，我們概括瞭高斯在1800年以後感興趣的主要領域如下：
- 1800——1820年，天文學；
- 1820——1830年，測地學、曲面理論、保角映射；
- 1830—1840年，數理物理學，特別是電磁學、地磁學，以及基於牛頓定律的引力理論；
- 1841——1855年，拓撲學、與單復變量函數相聯系的幾何。
1821——1848年，高斯是漢諾威和丹麥政府大規模測地勘測的科學顧問。高斯積極投身於這項工作。他的最小二乘法和他在設計處理大量數值數據的格式方面的技巧，有瞭充分發揮的機會，但更重要的是，在精確測量一部分大地曲面中出現的問題，無疑提出瞭與所有曲面有關的更深刻、更一般的問題。這些研究將引出相對論的數學。高斯的幾位前輩，特別是歐拉、拉格朗日和蒙日，已經研究過關於某些類型的曲面幾何，但是它仍然有待於高斯去解決全部一般性的問題，從他的研究中產生瞭微分幾何的第一個偉大的時期。
微分幾何可以被粗略地描述為在一個點的鄰近處（近到使距離的高於二次的冪可被省略）對曲線、曲面等等性質的研究。黎曼受到這項工作的啟發，在1854年寫出瞭構成幾何基礎的假設的經典論文，接著開始瞭微分幾何的第二個偉大時期，今天它被應用於數理物理學，特別是廣義相對論中。
高斯在他的關於曲面的著作中考慮瞭三個問題，提出瞭對數學和科學具有重要意義的理論，這三個問題是曲率的測量、保角表示（即映射）和曲面的可貼性。
"彎曲的"時空，是對一個用四個坐標而不是用兩個坐標描述的"空間”中通常可見的曲率的純數學的擴展，這種並不神秘的推廣是高斯關於曲面的工作的自然發展。他的一個定義說明瞭這一切的合理性。問題是要設想一些精確的方法，來描述曲面的"曲率"怎樣從曲面的一個點變到另一個點；這種描述必須附合我們對於"彎曲得多"和"彎曲得不多"的直觀感覺。
由一個沒有扭結的閉合曲線C圍成的曲面，其任何部分的全曲率是如下定義的。曲面在給定點的法線是通過該點的直線，它垂直於在給定點與曲面相切的平面。C的每一個點處有一根曲面的法線。想象所有這些畫出來的法線。現在，想象一個球，其半徑為單位長度，從該球的中心，畫出所有平行於C的法線的射線。這些射線將在單位半徑的球上交出一條曲線，比如說C'。球面上由C'所圍的那一部分的面積，就定義為給定曲面上由C圍出的那一部分的全曲率。稍微想象一下就會看出，這個定義與所要求的普通概念是一致的。
高斯在曲面研究中開拓的另一個基本概念是參數表示。
表示平面上的一個特殊點，要求兩個坐標。在球面或像地球那樣的球體上也一樣：在這種情形下坐標可以被想象為經度和緯度。這說明瞭二維流形意味著什麼。一般說來，如果要具體表示一類東西（點、聲音、顏色、線）中的每一個特殊成員（使其個性化），恰好n個數是充分且必要的，那麼就說這個類是一個n維流形。在這樣的表示中，人們同意，隻給該類成員的某些特征指定數。例如，如果我們隻考慮聲音的音高，我們就有一個一維流形，因為一個數，即聲音的振動頻率，就足以決定音高；如果我們加上音量，聲音現在就是一個二維流形瞭，等等。如果我們現在把曲面看成是由點構成的，我們就看出它是一個（點的）二維流形。我們發現，用幾何的語言把任何二維流形說成"曲面"，並把幾何推理用於流形——希望發現一些有趣的東西——是很方便的。
上述考慮導致瞭曲面的參數表示。在笛卡兒的幾何中，三個坐標之間的一個方程表示一個曲面。設（笛卡兒）坐標是x，y，z。我們現在用三個方程代替x，y，z的單獨一個方程來表示曲面：
其中f（u，v），g（u，v），h（u，v）是新變量u，v的函數，當這些變量被消去時，就得到x，y，z的曲面方程。u，v 稱為曲面的參數，三個方程x=f（u，v），y=g（u，v），z=h（u，v）稱為曲面的參數方程。這種表示曲面的方法當用於研究點與點之間變化很快的曲面的曲率和其他性質時，要比笛卡兒方法優越得多。
註意，參數表示是內蘊的；它的坐標參照曲面本身，而不是像笛卡兒方法那樣，參照一組外在的與曲面無關的軸。還應該註意到兩個參數u，v直接表明曲面的二維性質。地球上的經度與緯度是這些內在的、"自然"坐標的例子。
這個方法的另一個優點是，它很容易推廣到任意維數的空間。隻要增加參數的數目，像前面那樣做就足夠瞭。這些簡單的想法導致瞭畢達哥拉斯和歐幾裡得的度量幾何的推廣。這個推廣的基礎是由高斯奠定的，但是它們對於數學和物理科學的重要意義，直到20世紀才受到充分重視。
大地測量學的研究還向高斯提示瞭幾何學中另一個有力的方法，即保角映射方法的發展。保持角度的映射稱為保角映射。在這樣的映射中，單復變量解析函數理論是最有用的工具。保角映射的整個課題經常用於數理物理學及其應用，例如靜電學、流體力學和它的分支空氣動力學，在最後這個學科中，它在機翼理論中起瞭重要作用。
高斯一向仔細耕耘並取得成功的另一個幾何學領域，是曲面的可貼性，它要求決定什麼樣的曲面能夠不拉伸、不撕裂、彎曲地貼到另一個給定的曲面上。在這裡，高斯發明的方法又是具有普遍性的，並具有廣泛的用途。
高斯還對科學的其他領域進行瞭重要研究，例如對電磁學（包括地磁學），毛細現象，引力規律中橢球體（行星是特殊類型的橢球體）之間的吸引力，以及屈光學，特別是關於透鏡組的屈光學等的數學理論，都作出瞭重要的研究。最後這個部門給他提供瞭一個應用他的純抽象方法（連分式）的機會，這個方法是他在年輕時為瞭滿足對數論的好奇心而發展起來的。
高斯不僅把所有這些東西極端地數學化瞭，他還善於用他的雙手和雙眼將數學應用於其他學科。他發現的許多特殊的定理，特別是他在電磁學和引力理論的研究中發現的定理，成瞭所有在物理科學方面的人們必不可少的工具。高斯在他的朋友韋伯的幫助下，為所有的電磁現象尋找一個滿意的理論達許多年之久。由於沒有找到他認為滿意的理論，他放棄瞭這項嘗試。如果他發現瞭電磁領域中的克拉克·麥克斯韋方程，他可能就滿意瞭。
最後，我們必須提及拓撲學，關於這個學科他除瞭在1799年他的論文中順便提瞭一下以外，什麼也沒有發表，但是他預言它將成為數學中一個備受關註的主要課題。
高斯的最後幾年榮譽滿身，但是他並沒有得到他有權享受的幸福。在他去世前幾個月，當那致命的疾病顯露出最初的癥狀時，高斯仍然像他過去那樣思想敏捷活躍，有著豐富的創造力。然而他隻要能工作就工作，盡管他的手痙攣，他那優美清晰的書寫最後難於辨認瞭。他寫的最後一封信是給戴維·佈魯斯特爵士的，談到電報的發明。
他幾乎一直到最後都是清醒的，經過一番要活下去的努力掙紮以後，他在1855年2月23日凌晨安詳地去世，享年78歲。他活在數學的每一個地方。