之前的文章為瞭推導的便利是完全沒有考慮鏡頭引起的畸變情形，但實際上，任何鏡頭都不可能是沒有畸變的。畸變是在鏡頭的制造過程中產生的。透鏡的畸變主要分為兩類：徑向畸變和切向畸變
徑向畸變（Radial distortion）
徑向畸變是由於透鏡表面的弧度引起的光線折射角不同造成的，因此越靠鏡頭的邊緣畸變越嚴重，光心處零畸變。如下圖所示：
對於徑向畸變，可以用光心（optical center，下式的 (x, y) ）周圍距離為r的泰勒級數展開式的前幾項進行描述，通常使用前兩項就足夠瞭，即 k_1 和 k_2 ，對於畸變更大的鏡頭，如魚眼鏡頭，可以增加使用第三項 k_3 來進行描述:
left{ begin{aligned} x_{corrected} &= x cdot left( 1+ k_1r^2 +k_2r^4+k_3r^6 right) \ y_{corrected} &= y cdot left( 1+ k_1r^2 +k_2r^4+k_3r^6 right) \ end{aligned} right. tag{1}
可能讀者會好奇為什麼隻有偶數次冪的項，這裡稍作解釋。r 在 0 點的泰勒展開形式為：
f(r) = a_0 +a_1r + a_2r^2+ ldots \
當 f(r=0)=0 , 即 a_0=0 , 又鏡頭是對稱的，故僅剩餘偶數次冪的項。
徑向畸變的結果可參考下圖：
切向畸變（tangential distortion）
切向畸變的產生主要歸結於裝配的瑕疵，使鏡頭與成像平面不平行，如下圖：
結果如圖：
徑向畸變可以用兩個參數表示：
left{ begin{aligned} x_{corrected} &= x + left[ 2p_1xy + p_2 left(r^2 +2x^2 right) right] \ y_{corrected} &= y + left[ p_1 left( r^2 + 2y^2 right) + 2p_2xy right] \ end{aligned} right. tag{2}
這個推導有興趣的讀者可查閱《Decentering Distortion of Lenses – D.C. Brown, Photometric Engineering, pages 444-462, Vol. 32, No. 3, 1966》。
圖片矯正
這樣一來，我們就有5個參數來定義鏡頭的畸變 (k_1,k_2,p_1,p_2,k_3) ，在OpenCV中可以通過cv::calibrateCamera同內參一起得出。接下來，我們看一看圖片矯正後的效果：
#include <opencv2/opencv.hpp>
int main()
{
const cv::Mat M = (cv::Mat_<double>(3, 3) << 5.3398795245975896e+02, 0., 3.2838647449406972e+02,
0., 5.2871082110006125e+02, 2.3684272831168110e+02,
0., 0., 1.);
const cv::Mat D = (cv::Mat_<double>(5, 1) << -2.5896599091487332e-01, -1.2618381088945435e-01, 0., 0., 0.);
const int ImgWidth = 640;
const int ImgHeight = 480;
cv::Mat map1, map2;
cv::Size imageSize(ImgWidth, ImgHeight);
cv::initUndistortRectifyMap(M, D, cv::Mat(), M, imageSize, CV_16SC2, map1, map2);
std::string InputPath = "test/projection/left01.jpg";
cv::Mat RawImage = cv::imread(InputPath);
cv::Mat UndistortImage;
remap(RawImage, UndistortImage, map1, map2, cv::INTER_LINEAR);
cv::Mat img_concat;
cv::hconcat(RawImage, UndistortImage, img_concat);
cv::imwrite("test/calibration/left01_raw_undistorted.jpg",img_concat);
return 0;
}