學習階段：大學數學，積分變換。
前置知識：微積分、復變函數、傅裡葉級數。
傅裡葉級數有其局限性。考慮將 [0,T] 區間上的函數 f(t) 轉化為傅裡葉級數 sum_{-infty}^{+infty}c_ne^{inomega_0t} ，容易發現而該級數以 T 為周期，於是會出現圖1的情況：
圖1 傅裡葉級數是周期函數
因此，對於非周期函數，沒有傅裡葉級數能在 (-infty,+infty) 的區間上收斂到它。但是，我們可以認為非周期函數是周期無窮大的函數，試著將傅裡葉級數中的 T 推廣到無窮大。
1. 傅裡葉變換
1.1 推廣傅裡葉級數到無窮區間
我們首先對函數 f(t) 在區間 left[-frac T2,frac T2right] 上展開為傅裡葉級數得
f(t)=sum_{-infty}^{+infty}c_ne^{inomega_0t},quad c_n=frac1Tint_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-inomega_0t}dt
考慮讓 Tto+infty ，這樣就把 (-infty,+infty) 上的函數 f(t) 全部納入瞭考慮范圍。此時 omega_0=frac{2pi}{T}to0 ， omega_0 可視為相鄰頻率的周期函數的頻率間隔 (n+1)omega_0-nomega_0 ，那麼 nomega_0 可視為連續變化的，記 omega_0=Delta omega,quad nomega_0=omega . 那麼
c_n=frac{Deltaomega}{2pi}int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-iomega t}dt
如果 lim_{Tto+infty}int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-iomega t}dt 收斂，則 c_n 是個無窮小量。這是可以理解的，因為 c_n 描述的是在區間 left[-frac T2,frac T2right] 上 f(t)e^{-iomega t} 路徑的重心，隻有分量 e^{iomega t} 會造成影響。當 Tto+infty 時，造成影響的分量也被稀釋掉瞭。可以想象一卷線圈，匝數非常多，即便線圈的頭和尾沒有對齊，其重心也基本是在幾何中心。
將上式 c_n 代回到傅裡葉級數中，得到
f(t)=frac1{2pi}sum_{-infty}^{+infty}left(int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-iomega t}dtright)e^{iomega t}Delta omega
取 Tto+infty 極限得到
f(t)=frac1{2pi}int_{-infty}^{+infty}left(int_{-infty}^{+infty}f(t)e^{-iomega t}dtright)e^{iomega t}domega
上式被稱為傅裡葉積分定理。
1.2 傅裡葉變換
我們記
F(omega)=int_{-infty}^{+infty}f(t)e^{-iomega t}dt
在確定 f(t) 後，該函數隻與給定的頻率 omega 有關，它描述的是 f(t) 中分量 e^{iomega t} 的分佈密度。稱該函數為 f(t) 的頻譜密度函數（簡稱為連續頻譜或頻譜）。
從理解上來說，視 [omega,omega+Deltaomega] 頻率區間中的分量 e^{iomega t} 頻率恒定，它的系數近似為 c=frac1TF(omega)=frac{Delta omega}{2pi}F(omega) . 如圖2所示：
圖2 頻譜密度的含義
對任何一個函數 f(t) 都可以嘗試通過這種操作變為另一個對應的函數 F(omega) ，因此這是一個函數的函數，稱之為（連續時間）傅裡葉變換（Fourier Transform, FT）或傅氏變換，記為
mathscr{F}[f(t)]=F(omega)=int_{-infty}^{+infty}f(t)e^{-iomega t}dt\
在函數變換中，稱 F(omega) 是 f(t) 的象函數，稱 f(t) 是 F(omega) 的象原函數。與傅裡葉級數類似，稱 |F(omega)| 為 f(t) 的振幅譜， arg F(omega) 為 f(t) 的相位譜。
得到頻譜函數後，自然可以把它逆變換回去，即
f(t)=frac1{2pi}int_{-infty}^{+infty}F(omega)e^{iomega t}domega
稱該變換為傅裡葉逆變換，記為
mathscr F^{-1}[F(omega)]=f(t)=frac1{2pi}int_{-infty}^{+infty}F(omega)e^{iomega t}domega\
2. 廣義傅裡葉變換
2.1 狹義傅裡葉變換的局限性
如果 f(t) 是周期函數，它能完整地用傅裡葉級數表示，但它反而求不出傅裡葉變換。因為它的分量是離散分佈的，求不出分佈密度。
例如周期函數 f(t)=e^{it}+2e^{2it} ，它的離散頻譜為 begin{cases} c_1=1\ c_2=2\ c_n=0&nne1,2\ end{cases} . 我們試著求它的傅裡葉變換：
mathscr F[f(t)]=int_{-infty}^{+infty}(e^{it}+2e^{2it})e^{-iomega t}dt
=int_{-infty}^{+infty}e^{i(1-omega)t}dt+int_{-infty}^{+infty}2e^{i(2-omega)t}dt
這裡產生瞭兩個問題：
①在 omegane0 時，廣義積分 int_{-infty}^{+infty}e^{iomega t}dt 震蕩不收斂。
這個問題比較好解決。規定它的值為 lim_{Tto+infty}int_{-T/2}^{T/2}e^{iomega t}dt=0 ，即可與傅裡葉級數相容。
②在 omega =0 時，廣義積分 int_{-infty}^{+infty}e^{iomega t}dt=int_{-infty}^{+infty}dt 發散到正無窮大。
如果我們僅僅是簡單地在 F(omega) 上挖去這些無窮大的點，那麼我們會無法區分 f(t)=e^{it}+2e^{2it} 中，分量 e^{it} 和 2e^{2it} 的系數。如果沒有這些系數，我們將無法進行逆變換，無法通過 F(omega) 還原出 f(t) 的原貌。
2.2 單位沖激函數
為瞭解決上述問題，我們引入瞭單位沖激函數，又稱狄拉克 delta 函數。這是一個廣義函數，並不能由通常的數集映射來定義，必須依賴於積分。廣義函數在泛函分析中有詳細討論，這裡隻簡單介紹一下它的直觀定義：
①對於任意 xne0 滿足 delta(x)=0 ；
②滿足積分 int_{-infty}^{+infty}delta(x)dx=1 .
顯然， delta 函數並不能簡單地記為 delta(x)=begin{cases} +infty,&x=0\ 0,&xne0\ end{cases} ，因為這並不能體現性質②，也就無法體現 delta(x) 與 2delta(x) 的區別。 delta 函數有許多直觀的近似方法，以下舉兩例：
delta(x)=lim_{varepsilonto0}begin{cases} frac1{2varepsilon},&xin[-varepsilon,varepsilon]\ 0,&其他 end{cases} ，這是矩形沖激函數（圖4紅線）的極限狀態。
delta(x)=lim_{ato0^+}frac a{pi(a^2+x^2)} ，這是 frac1piarctanfrac xa 導函數（圖4藍線）的極限狀態。
圖4 δ函數的近似
容易證明他們滿足性質②，且在極限狀態下滿足性質①。
通常，在畫函數圖像時，沖激函數用一箭頭表示，並標上它的沖激強度。 Adelta(x) 在 x=0 的沖激強度就是 A . 圖5是一些例子：
圖5 沖激函數的圖示
delta 函數並不是真實存在的函數，它最初是用來描述物理中的理想模型的，例如質點、點電荷這種沒有尺度的模型。關於它們的很多函數隻會在圖像上有一瞬間的脈沖，用 delta 函數就能很好地描述。
以下給出 delta 函數的一些性質：
①篩選性質： int_{-infty}^{+infty}delta(x-x_0)f(x)dx=f(x_0) ；
②是偶函數，即 delta(x)=delta(-x) ；
③放縮/相似性： delta(a x)=frac1{|a|}delta(x) ；
④是單位階躍函數 u(x)=begin{cases} 0,&x<0\ 1,&x>0\ end{cases} 的導函數。
2.3 廣義傅裡葉變換
利用 delta 函數，我們就可以把傅裡葉級數中的離散頻譜數列也表示成傅裡葉變換得到的連續頻譜函數。涉及到 delta 函數的傅裡葉變換，被稱為廣義傅裡葉變換，它能對周期函數進行傅裡葉變換。
首先，我們對 delta 函數進行傅氏變換，得到
mathscr F[delta(t)]=int_{-infty}^{+infty}delta(t)e^{-iomega t}dt=left.e^{-iomega t}right|_{t=0}=1
也就是說， delta(t) 均勻地含有各種頻率分量且系數相等，稱此為均勻頻譜或白色頻譜。直觀上可以這樣理解：隻有在 t=0 時各個分量 e^{iomega t} 齊心協力都為1，疊加得到無窮大；而在 tne0 時各個分量雜亂無章，平均而言就得0.
那麼常數1的傅裡葉逆變換應得到 delta(t) ，即
mathscr F^{-1}[1]=frac1{2pi}int_{-infty}^{+infty}e^{iomega t}domega=delta(t)
得到瞭一個十分重要的公式： int_{-infty}^{+infty}e^{iomega t}domega=2pidelta(t) . 換元即可得到 int_{-infty}^{+infty}e^{-iomega t}dt=2pidelta(omega) ，也就是說常數1的連續頻譜為 2pidelta(omega) .
上述公式也可以通過離散情況的極限來直觀得出。如圖6所示，積分 int_{-T/2}^{T/2}e^{-iomega t}dt 的值僅在 omega=0 處為 T ，其他情況均為 0 . 而頻率間隔 Deltaomega=frac{2pi}T ，因此它構成一個矩形沖激函數，矩形的面積為 2pi . 在 Tto+infty 時，自然得到瞭沖激強度為 2pi 的函數 2pidelta(omega) .
由此，在2.1節提到的函數 f(t)=e^{it}+2e^{2it} 就可輕易求出其傅裡葉變換為
mathscr F[f(t)]=int_{-infty}^{+infty}(e^{it}+2e^{2it})e^{-iomega t}dt
=int_{-infty}^{+infty}e^{i(1-omega)t}dt+int_{-infty}^{+infty}2e^{i(2-omega)t}dt =2pi(delta(1-omega)+2delta(2-omega))
而且它還能逆變換回去：
mathscr F^{-1}[F(omega)]=frac1{2pi}int_{-infty}^{+infty}2pi(delta(1-omega)+2delta(2-omega))e^{iomega t}domega
=left.e^{iomega t}right|_{omega=1}+left.2e^{iomega t}right|_{omega=2}=e^{it}+2e^{2it}
對 e^{it}+2e^{2it} 的連續頻譜作圖得圖7：
圖7 e^(it)+2e^(2it)的連續頻譜
立刻可以讀出其傅裡葉級數的系數分別為1和2. 因此，連續頻譜能表示離散頻譜，離散頻譜能轉換為連續頻譜，它們是一一對應的。
附錄
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