四點共圓問題在高中（即初等代數）中的證明方法多樣，若有確定的四個點，(X1,Y1)
(X2,Y2),(X3,Y3),(X4,Y4),第一種思路是我們可以根據圓的一般方程，根據其中三個點求得方程，再將第四個點帶入這個求得的方程，即可證明這四個點在一個圓上。
當然，上一中方法的條件適用於四個點在xoy所確定的坐標平面上，若考慮這四個點兩兩之間的距離已知，我們可以考慮用托勒密定理的逆定理證明四點共圓。（托勒密定理屬於競賽內容，內容大概是，圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積。）
（圖片來自網絡，侵刪）
當然，對於一般的四點，我們尋求讓它們共圓的最簡單的充要條件，下面進入到本文的正題
註意：本文假定讀者已經大學入學的知識水平。
關於該問題我們不難設出圓的方程
代入上述四個點我們得到方程組
遵循之前先證三點最後代入第四個點的思路，隻要這個方程組的任意三個方程都有唯一解那麼這四點共圓，原方程有解
寫出這些組合以後的方程
下面我們考慮它們的齊次線性方程組，首先來介紹什麼叫齊次線性方程組。
考慮三元線性方程組（1.1）
這個線性方程其實也是一個通式，右邊的b1,b2,b3,我們也稱他們為常數項，所謂的齊次線性方程組就是把常數項全部換成0的方程組如（1.2）
顯然這個方程有0解，即x1,x2,x3均為0的時候該齊次線性方程組成立。
當這個方程（1.2）有非0解時；（1.1）有多解，下證
用（1.1）加減（1.2）得
則設α
則α一定是（1.1的另一個解），無唯一解
若（1.1）有唯一解則這三個解分別為
我們可以看到它們的分母都是一樣的
所以回到原來的線性方程組
清讀者自行腦補它們的齊次線性方程組，顯然它們的齊次線性方程組有0解，若原來的線性方程組有唯一解，則齊次線性方程組隻有0解！
齊次線性方程組的其他解都有相同的分母四個分母都為零，則原來的線性方程組有唯一解！