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創作於—-Dec 23, 2022

關於第一期與本系列篇幅專欄見如下鏈接。

前兩期介紹的心形線與星形線分別屬於外擺線與內擺線，這一期就介紹最後一種擺線。

如果對你有幫助，請不忘收藏、點贊或轉發給身邊需要幫助的同學。

三、擺線(Cycloid)

前兩期談到的曲線，都是一個動圓上固定一點P，然後在另一個定圓上滾動時形成的軌跡。其中，動圓在定圓外側滾動時，點P形成的軌跡是外擺線；動圓在定圓內側滾動時，點P形成的軌跡就是內擺線。

若動圓不再繞定圓兩側滾動，而讓這個動圓在一條定直線上滾動時，那麼動圓上的點P形成的軌跡就是這一期談到的擺線。擺線也叫"圓滾線"，畢竟是一個圓在直線上滾動時，圓上的一個點形成的曲線。

擺線在物理學上也稱為"最速降線"，這裡就不過多討論關於物理方面的細節，讀者有興趣可自行瞭解。

註：由於本人技術不到位的原因就未制作相應的GIF動圖，若想瞭解部分曲線動圖，見如下鏈接。

1.圖像與表達式

1.1圖像

圖1

註：擺線圖像以T=2πa為周期，這裡就隻展示θ在[0,2π]上的圖像。

1.2表達式

參數方程：

displaystyleleft{ begin{array}{lc} x=a(theta-sintheta)\ y=a(1-costheta)\ end{array} right.(a>0)

註：隻給出擺線的參數方程，至於其直角坐標與極坐標的表達式由於太復雜就沒必要去討論。且所有關於擺線的長度、面積……計算都用擺線的參數形式。

接下來，簡單說一下擺線參數方程的推導。

第一步，將半徑為a的動圓C放在B(0,a)處，然後在動圓C上塗一個點P，使P點與坐標原點重合。見圖2所示。

圖2

第二步，讓這個圓C在x軸上往x的正半軸方向"滾動"，這時P點形成一簇軌跡，見圖3所示。

圖3

當動圓C滾動一周後，P點的軌跡就是θ在[0,2π]上的擺線。這裡就選擇好一個角度，對此進行分析。

圖4

在圖4中，記擺線的軌跡P為(x,y)，其中BP=BD=a。並且圓C在[0,2πa]上滾動時，恒有

left| OD right|=overset{LARGE{frown}}{PD}=atheta

那麼很容易得到P點x、y的表達式。

displaystyle x=left| OE right|=left| OD right|-left| DE right|=atheta-asintheta

displaystyle y=left| PE right|=left| BD right|-left| BF right|=a-acostheta

於是，得到擺線方程

displaystyleleft{ begin{array}{lc} x=a(theta-sintheta)\ y=a(1-costheta)\ end{array} right.(a>0,thetain[0,2pi])

接下來，就用擺線的參數形式來解決關於擺線相關數據的求法。

註1：由於擺線以2πa為周期，以下關於擺線各種數據的計算，隻考慮[0,2πa]上一拱的擺線。

註2：在計算整條曲線弧長、面積、旋轉體積、旋轉表面積之前優先考慮其對稱性。

顯然擺線在[0,2πa]上關於x=πa對稱。

在計算前，先將華裡士(Wallis)公式呈現給大傢。

---

*NOTE→華裡士公式：

Ⅰ、若 displaystyle I_{n}=int_{0}^{frac{pi}{2}}sin^nxdx=int_{0}^{frac{pi}{2}}cos^nxdx

a.當n為大於1的正奇數

displaystyle I_{n}=frac{n-1}{n}·frac{n-3}{n-2}···frac{4}{5}·frac{2}{3}·I_{1}(I_{1}=1)

或 displaystyle I_{n}=frac{(n-1)!!}{n!!}

b.當n為正偶數

displaystyle I_{n}=frac{n-1}{n}·frac{n-3}{n-2}···frac{3}{4}·frac{1}{2}·I_{0}(I_{0}=frac{pi}{2})

或 displaystyle I_{n}=frac{(n-1)!!}{n!!}· frac{pi}{2}

Ⅱ、若 displaystyle I_{n}=int_{0}^{pi}sin^nxdx

c.當n為大於1的正奇數

displaystyle I_{n}=2·frac{n-1}{n}·frac{n-3}{n-2}···frac{4}{5}·frac{2}{3}·I_{1}(I_{1}=1)

或 displaystyle I_{n}=2·frac{(n-1)!!}{n!!}

d.當n為正偶數

displaystyle I_{n}=2·frac{n-1}{n}·frac{n-3}{n-2}···frac{3}{4}·frac{1}{2}·I_{0}(I_{0}=frac{pi}{2})

或 displaystyle I_{n}=2·frac{(n-1)!!}{n!!}· frac{pi}{2}

displaystyle=frac{(n-1)!!}{n!!}·pi

Ⅲ、若 displaystyle I_{n}=int_{0}^{pi}cos^nxdx

e.當n為正奇數： displaystyle I_{n}=0

f.當n為正偶數

displaystyle I_{n}=2·frac{n-1}{n}·frac{n-3}{n-2}···frac{3}{4}·frac{1}{2}·I_{0}(I_{0}=frac{pi}{2})

或 displaystyle I_{n}=2·frac{(n-1)!!}{n!!}· frac{pi}{2}

displaystyle=frac{(n-1)!!}{n!!}·pi

Ⅳ、 displaystyle I_{n}=int_{0}^{2pi}sin^nxdx=int_{0}^{2pi}cos^nxdx

g.當n為正奇數： displaystyle I_{n}=0

h.當n為正偶數

displaystyle I_{n}=4·frac{n-1}{n}·frac{n-3}{n-2}···frac{3}{4}·frac{1}{2}·I_{0}(I_{0}=frac{pi}{2})

或 displaystyle I_{n}=4·frac{(n-1)!!}{n!!}· frac{pi}{2}

displaystyle=frac{(n-1)!!}{n!!}·2pi

---

2.弧長

記弧長為L，其中

displaystyleleft{ begin{array}{lc} x'=a(1-costheta)\ y'=asintheta\ end{array} right.(a>0,thetain[0,2pi])

displaystyle L=2cdot int_{0}^{pi a}sqrt{1+(y')^2}dx

displaystyle =2cdot int_{0}^{pi }sqrt{[x'(theta)]^2+[y'(theta)]^2}dtheta

displaystyle =2cdot int_{0}^{pi }sqrt{[a(1-costheta)]^2+[asintheta]^2}dtheta

displaystyle =2sqrt{2}aint_{0}^{pi }sqrt{1-costheta}dtheta

displaystyle =4aint_{0}^{pi }sqrt{sin^2{frac{theta}{2}}}dtheta

displaystyle =4aint_{0}^{pi }left| sin{frac{theta}{2}} right|dtheta

displaystyle =8aint_{0}^{pi }sin{frac{theta}{2}}d(frac{theta}{2})

=8a

於是得到擺線一拱的長度為8a，是圖2中動圓C半徑的8倍，而不是關於π的無理數。

3.面積

對於圖1的擺線，當然考慮的是計算[0,2πa]上一拱封閉圖形的面積，見圖5所示。

圖5

記面積為A，按照對稱性，

displaystyle A=2int_{0}^{pi a}y(x)dx

displaystyle=2int_{0}^{pi}y(theta)x'(theta)dtheta

displaystyle =2int_{0}^{pi}[a(1-costheta)][a(1-costheta)]dtheta

displaystyle =2a^2int_{0}^{pi}(1-costheta)^2dtheta

displaystyle =2a^2int_{0}^{pi}(1+cos^2theta-2costheta)dtheta

displaystyle =2a^2(pi+2cdot frac{1}{2}cdot frac{pi}{2}+0)

displaystyle =3pi a^2

因此一拱的擺線與x軸圍成的面積為3πa²，是圖2中動圓C面積的3倍。

4.旋轉體積

這裡考慮圖5中陰影部分的區域D繞x軸、y軸旋轉產生的圖形體積，分兩種情況討論。

還是老規矩，先看擺線通過旋轉形成的圖像。

圖6

若是繞y軸形成的圖形，見圖7所示。

圖7

註：紅色為x軸，綠色為y軸，藍色為z軸。

4.1情況一

記圖5區域D繞x軸旋轉一周形成的圖形體積為Vx，則

displaystyle V_{x}=2cdot piint_{0}^{pi a}y^2(x)dx

displaystyle =2piint_{0}^{pi}y^2(theta)cdot x'(theta)dtheta

displaystyle =2piint_{0}^{pi}[a(1-costheta)]^2cdot a(1-costheta)dtheta

displaystyle =2pi a^3int_{0}^{pi}(1-costheta)^3dtheta

displaystyle =2pi a^3int_{0}^{pi}(1-3costheta+3cos^2theta-cos^3theta)dtheta

displaystyle =2pi a^3(pi-0+3cdot2cdot frac{1}{2}cdot frac{pi}{2}-0)

displaystyle =5pi^2a^3

4.2情況二

記圖5區域D繞y軸旋轉一周形成的圖形體積為Vy

①法一：割補法

圖8

在圖8中，

記區域OHGAO繞y軸旋轉一周形成的體積為V1；

記區域OHGO繞y軸旋轉一周形成的體積為V2。

那麼V1-V2，就是圖5區域D繞y軸一周形成的體積。

displaystyle V_{1}=piint_{0}^{2a}x_{2}^{2}(y)dy

displaystyle=piint_{2pi}^{pi}x^2(theta)cdot y'(theta)dtheta

displaystyle =piint_{2pi}^{pi}[a(theta-sintheta)]^2cdot asintheta dtheta

displaystyle =pi a^3int_{2pi}^{pi}(theta-sintheta)^2cdot sintheta dtheta

displaystyle V_{2}=piint_{0}^{2a}x_{1}^{2}(y)dy

displaystyle =piint_{0}^{pi}x^2(theta)cdot y'(theta)dtheta

displaystyle =piint_{0}^{pi}[a(theta-sintheta)]^2cdot asintheta dtheta

displaystyle =pi a^3int_{0}^{pi}(theta-sintheta)^2cdot sintheta dtheta

therefore V_{y}=V_{1}-V_{2}

displaystyle =pi a^3int_{2pi}^{0}(theta-sintheta)^2cdot sintheta dtheta

displaystyle =(-pi a^3)int_{0}^{2pi}(theta-sintheta)^2cdot sintheta dtheta

displaystyle =pi a^3int_{0}^{2pi}(2theta sin^2theta-theta ^2sintheta-sin^3theta)dtheta

displaystyle =pi a^3[2int_{0}^{2pi}theta sin^2theta dtheta-int_{0}^{2pi}theta^2sintheta dtheta-int_{0}^{2pi}sin^3theta dtheta]

displaystyle =pi a^3[2int_{0}^{2pi}theta sin^2theta dtheta-int_{0}^{2pi}theta^2sintheta dtheta]

displaystyle =pi a^3[2I_{1}-I_{2}]

其中，

displaystyle I_{1}=int_{0}^{2pi}theta sin^2theta dtheta

displaystyle=int_{-pi}^{pi}(theta+pi) sin^2(theta+pi) dtheta

displaystyle=int_{-pi}^{pi}(theta+pi) sin^2theta dtheta

displaystyle=int_{-pi}^{pi}theta sin^2theta dtheta+2piint_{0}^{pi}sin^2theta dtheta

displaystyle =0+2picdot 2cdot frac{1}{2}cdot frac{pi}{2}=pi^2

displaystyle I_{2}=int_{0}^{2pi}theta^2sintheta dtheta

displaystyle =int_{-pi}^{pi}(theta+pi)^2sin(theta+pi) dtheta

displaystyle =-int_{-pi}^{pi}(theta^2+pi^2+2pi theta)sintheta dtheta

displaystyle =-[int_{-pi}^{pi}theta^2sintheta dtheta+pi^2int_{-pi}^{pi}sintheta dtheta+2piint_{-pi}^{pi}theta sintheta dtheta]

displaystyle =-4piint_{0}^{pi}theta sintheta dtheta=4piint_{0}^{pi}theta d(costheta)

displaystyle=4pi(thetacostheta vert_{theta=0}^{theta=pi}-int_{0}^{pi}costheta dtheta)

displaystyle =-4pi^2

displaystyle therefore V_{y}=pi a^3[2pi^2-(-4pi^2)]=6pi^3a^3

註1：在計算V1與V2時，要註意θ上下限的問題。雖然二者在直角坐標系中都是從0到2a上積分，但兩個積分的參數θ的上下限卻截然不同，望讀者好好品味此細節。

註2：在計算V2定積分，運用瞭華裡士公式、定積分區間平移公式。

---

*NOTE→定積分區間平移公式：

簡單來說就是，定積分上下限同時加或減多少，那麼被積函數中對應的變量則反向加或減多少。

可能說得有點拗口，用公式表示為：

displaystyle int_{a}^{b}f(x)dx=int_{apm t}^{bpm t}f(xmp t)dx,tin R

這個公式理解起來也很簡單，大傢在草稿紙上比劃比劃就能明白。稍微比這個復雜一點的，就應該是區間再現公式。相信很多讀者在大學期間學過區間再現公式瞭，那麼對於區間平移公式，也不算太難理解。

其實，由區間平移公式再加上變量的負變換，就可以由區間平移實現區間再現。

displaystyle int_{a}^{b}f(x)dx=int_{0}^{b-a}f(x+a)dx

displaystyle =int_{-b}^{-a}f(a+b+x)dx

displaystyle =int_{a}^{b}f(a+b-t)dt(令x=-t)

---

這裡就不再過多介紹區間再現公式的應用。回到剛才的話題，一般什麼情況下會用到區間平移這一公式？

答：一般在計算定積分的過程中，若被積函數比較復雜，用瞭區間平移公式後，首先滿足積分上下限在對稱區間中；然後被積函數能拆開的若幹子函數在對稱區間裡面具有奇偶性；並且若幹子函數的定積分能通過奇偶性或其它方法得出其積分值。

舉個例子，計算 displaystyle int_{0}^{6}x ^2sqrt{6x-x^2}dx

由區間平移公式得，

displaystyle I=int_{-3}^{3}(x+3)^2sqrt{6(x+3)-(x+3)^2}dx

displaystyle =int_{-3}^{3}(x^2+6x+9)sqrt{9-x^2}dx

運用公式後，發現 sqrt{9-x^2} 在[-3,3]這個對稱區間中是偶函數，前面平方項打開後有x²、6x、9三項，然後此三項與根號項偶函數相乘形成被積函數的三個子函數。顯然這三個子函數能通過奇偶性或其它簡便方法得出積分值。例如，6x是奇函數，與後面的根號項偶函數相乘後形成的子函數在對稱區間中是奇函數，於是這個子函數在對稱區間的積分為0。因此，

displaystyle I=int_{-3}^{3}(x^2+9)sqrt{9-x^2}dx

然後剩下的兩個子函數，都可以通過換元與定積分的幾何意義算出其值。

除瞭這個例子外，也常用於被積函數是一個多項式與正餘弦函數相乘的定積分計算中。比如上述在計算Vy時，出現的I1與I2兩個定積分。

這裡就不再過多去闡述，詳細過程都展示在計算Vy的過程之中。

②法二：柱殼法

displaystyle V_{y}=2piint_{0}^{2pi a}xleft| y(x) right|dx

displaystyle=2piint_{0}^{2pi }x(theta)left| y(theta) right|x'(theta)dtheta

displaystyle=2piint_{0}^{2pi }a(theta-sintheta)left| a(1-costheta) right|a(1-costheta)dtheta

displaystyle=2pi a^3int_{0}^{2pi }(theta-sintheta)(1-costheta)^2dtheta

displaystyle=2pi a^3int_{0}^{2pi }(theta+theta cos^2theta-2theta costheta-sintheta-sintheta cos^2theta+sin2theta)dtheta

displaystyle=2pi a^3int_{0}^{2pi }(theta+theta cos^2theta-2theta costheta)dtheta

displaystyle=2pi a^3(2pi^2+int_{0}^{2pi}theta cos^2theta dtheta-2int_{0}^{2pi}theta costheta dtheta)

displaystyle=2pi a^3(2pi^2+I_{2}-2I_{1})

其中，

I_{1}=displaystyleint_{0}^{2pi}theta costheta dtheta

displaystyle =int_{-pi}^{pi}(theta+pi)cos(theta+pi)dtheta

displaystyle=-int_{-pi}^{pi}(theta+pi)costheta dtheta

displaystyle=-int_{-pi}^{pi}theta costheta dtheta-2piint_{0}^{pi}costheta dtheta

=0

displaystyle I_{2}=int_{0}^{2pi}theta cos^2theta dtheta

displaystyle =int_{-pi}^{pi}(theta+pi)cos^2(theta+pi)dtheta

displaystyle =int_{-pi}^{pi}(theta+pi)cos^2theta dtheta

displaystyle =int_{-pi}^{pi}theta cos^2theta dtheta+2piint_{0}^{pi}cos^2theta dtheta

displaystyle =2picdot2cdot frac{1}{2}cdot frac{pi}{2}=pi^2

displaystyle therefore V_{y}=2pi a^3(2pi^2+pi^2-0)=6pi^3a^3

5.旋轉表面積

這裡還是得分兩種情況討論

5.1情況一

記圖5區域D繞x軸旋轉一周形成的圖形表面積為Sx，則

displaystyle S_{x}=2cdot2piint_{0}^{pi a}left| y(x) right|sqrt{1+[y'(x)]^2}dx

displaystyle=4piint_{0}^{pi }left| y(theta) right|sqrt{[x'(theta)]^2+[y'(theta)]^2}dtheta

displaystyle=4piint_{0}^{pi }left| a(1-costheta) right|sqrt{[a(1-costheta)]^2+[asintheta]^2}dtheta

displaystyle=4sqrt{2}pi a^2int_{0}^{pi }(1-costheta)sqrt{1-costheta}dtheta

displaystyle=4sqrt{2}pi a^2int_{0}^{pi }2sin^2frac{theta}{2}cdot sqrt{2}left| sinfrac{theta}{2} right|dtheta

displaystyle=16pi a^2int_{0}^{pi }sin^3frac{theta}{2}dtheta

displaystyle=32pi a^2int_{0}^{frac{pi}{2} }sin^3udu

displaystyle=frac{64pi}{3}a^2

5.2情況二

[0,2πa]上的擺線繞y軸旋轉一周形成的圖形的表面積情況較復雜，得分成兩部分去計算。

事實上，隻需要一步計算。但這裡分成兩部分隻是為瞭說明一個細節問題。

圖9

第一部分： displaystyle thetain[0,pi]，表面積為S1，

在圖9中為藍色部分。

第二部分： displaystyle thetain[pi,2pi] ，表面積為S2，

在圖9中為紅色部分。

displaystyle S_{1}=2piint_{0}^{2a}left| x_{1}(y) right|sqrt{1+[x_{1}'(y)]^2}dy

displaystyle=2piint_{0}^{pi}left| x(theta) right|sqrt{[x'(theta)]^2+[y'(theta)]^2}dtheta

displaystyle=2piint_{0}^{pi}left| a(theta-sintheta) right|sqrt{[a(1-costheta)]^2+[asintheta]^2}dtheta

displaystyle=2sqrt{2}pi a^2int_{0}^{pi}(theta-sintheta)sqrt{1-costheta}dtheta

displaystyle=4pi a^2int_{0}^{pi}(theta-sintheta)left| sinfrac{theta}{2} right|dtheta

displaystyle=4pi a^2int_{0}^{pi}(theta-sintheta) sinfrac{theta}{2}dtheta

displaystyle=4pi a^2(4-frac{4}{3})

displaystyle =frac{32pi}{3}a^2

這裡重點說一下S2計算方面的問題，若直接用參數形式求表面積會導致出錯，即

displaystyle S_{2}=2piint_{0}^{2a}left| x_{2}(y) right|sqrt{1+[x_{2}'(y)]^2}dy

displaystyle=2piint_{2pi}^{pi}left| x(theta) right|sqrt{[x'(theta)]^2+[y'(theta)]^2}dtheta

displaystyle=…

displaystyle=4pi a^2int_{2pi}^{pi}(theta-sintheta)left| sinfrac{theta}{2} right|dtheta<0

為什麼算出來是小於0呢？其實也不難理解，大傢發現沒有，在計算旋轉表面積時，表達式中有弧微分的形式在被積函數中。因此，不管積分區間從幾到幾，必須保證弧微分恒大於0。在擺線參數形式中，當θ增大時，擺線的弧長也隨著θ的變大而變長，此時弧微分大於0；而S2第一個等號後積分區間為[0,2a]，對應的參數θ則從2π到π，與弧長變長背道而馳，此時弧微分小於0。因此，算S2積分時得在前面加個負號。

可能說得比較模棱兩可，實在不理解的話，直接用"微元法"即可。還是拿計算S2為例，

第一步，首先將參數θ從π到2π的擺線L任意分成若幹小段，見圖10所示。

圖10

第二步，選取其中的一段作為研究對象，讓這一小段弧繞y軸旋轉一周，見圖11。

圖11

在這段弧上，再任意選取一點A，記點A到y軸的距離為h=|AB|=x₂(y)。

記這段弧長為s，於是可近似認為這段弧的旋轉表面積為，

Delta Sapprox 2pi hcdot s

第三步，當這段弧足夠小時，見圖12。

圖12

我們就認為這弧上的任意點到y軸的距離可由h=|AB|所代替。把這足夠小段的弧長記為ds，那麼就得到其繞y軸旋轉圖形的面積元素，

dS=2pi hcdot ds

於是，圖10的曲線L繞y軸旋轉的表面積為，

displaystyle S=intlimits_L 2pi h mathrm{ds}=intlimits_L 2pi x _{2}(y)mathrm{ds}

其中h表示曲線L上的點到旋轉軸(y軸)的距離，ds是弧長元素。於是，將此例推廣到一般情況。

設一曲線y=f(x)，x∈[a,b]，若曲線繞直線L旋轉一周，則形成的圖形表面積為

displaystyle S=intlimits_L 2pi h mathrm{ds}=intlimits_L 2pi h mathrm{sqrt{1+(y')^2}}dx

特別地，當L的直線方程為Ax+By+C=0，則

displaystyle h=frac{|Ax+By+C|}{sqrt{A^2+B^2}}

若直線L是x軸，則h=|y|=|f(x)|;

這就說明曲線的旋轉表面積是由第一型曲線積分得到的，而第一型曲線積分與方向無關。還是回到剛才那個話題，在圖10中，計算參數θ從[π,2π]的擺線L繞y軸旋轉的表面積S2，是考慮擺線L長度上的積分，即弧長元素ds，而長度不會因方向變化而改變。因此不管從A到B還是從B到A，弧長元素ds都必須大於0。

於是，

displaystyle S_{2}=2piint_{pi}^{2pi}left| x(theta) right|sqrt{[x'(theta)]^2+[y'(theta)]^2}dtheta

displaystyle=……

displaystyle=4pi a^2int_{pi}^{2pi}(theta-sintheta)left| sinfrac{theta}{2} right|dtheta

displaystyle=4pi a^2int_{pi}^{2pi}(theta-sintheta) sinfrac{theta}{2}dtheta

displaystyle=4pi a^2(4pi-frac{8}{3})

displaystyle therefore S_{y}=S_{1}+S_{2}=16pi^2a^2

事實上，計算旋轉表面積Sy，就是在計算曲線積分displaystyleintlimits_L 2pi x mathrm{ds}

其中L為圖1中擺線相應於θ從0到2π的一段弧。

displaystyle S_{y}=intlimits_L 2pi x mathrm{ds}

displaystyle=2piint_{0}^{2pi}left| x(theta) right|sqrt{[x'(theta)]^2+[y'(theta)]^2}dtheta

displaystyle=4pi a^2int_{0}^{2pi}(theta-sintheta) sinfrac{theta}{2}dtheta

=16pi^2a^2

6.形心

這裡考慮圖5中區域D的形心。關於形心的相關知識前兩期已經介紹過瞭，這裡不再過多闡述。

首先圖5中區域D關於x=πa對稱，於是 bar{x}=pi a

displaystyle A_{D}=3pi a^2

為瞭得出bar{y}, 這裡就要計算displaystyle iintlimits_{D} y mathrm{dxdy}，其中

displaystyle D=left{ (x,y)|x=a(theta-sintheta),y=a(1-costheta),thetain[0,2pi]right}

displaystyle I= iintlimits_{D} y mathrm{dxdy}

displaystyle=int_{0}^{2pi a}dxint_{0}^{y(x)}ydy

displaystyle=frac{1}{2}int_{0}^{2pi a}y^{2}(x)dx

displaystyle=frac{1}{2}int_{0}^{2pi }y^{2}(theta)x'(theta)dtheta

displaystyle=frac{1}{2}int_{0}^{2pi}a^3(1-costheta)^3dtheta

displaystyle=frac{a^3}{2}int_{0}^{2pi}(1-3costheta+3cos^2 theta-cos^3theta)dtheta

displaystyle=frac{a^3}{2}(2pi+3cdot4cdot frac{1}{2}cdot frac{pi}{2})

displaystyle =frac{5pi}{2}a^3

displaystyle thereforebar{y}=frac{ iintlimits_{D} y mathrm{dxdy}}{A_{D}}=frac{5a}{6}

因此，圖5中擺線在[0,2πa]一拱的區域D形心為

displaystyle (pi a,frac{5a}{6})

7.總結

到這裡，有關擺線的相關數據就整理至此。至此，關於高等數學常用的三種擺線就全部介紹完畢。

從第一期到第三期篇幅中，大多數曲線的計算都結合瞭華裡士公式，望讀者將華裡士公式銘記於心，熟用於題。

至於"內容概要"中提到的常用曲線，若還有關於曲線的其它性質，請廣大網友在評論區留言，本人看到後會選擇性對文章進行補充。

望網友補充的曲線性質與曲線的相關數據盡量與考研數學方面相關。

由於篇幅過長，本系列將分成若幹篇幅去匯總。

文中若有錯誤的地方，懇請廣大讀者、網友們在評論區指正，在下表示萬分感謝。

In The End.

Thanks for reading!