高中數學:平面向量(二)

啄木鸟系列 2024-05-31 01:12 1次浏览 0 条评论 taohigo.com

轉自個人公眾號:初高中數理化寶典

一、平面向量基本定理及坐標表示

1.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量,那麼對於這一平面內的任意向量a,有且隻有一對實數x、y,是a=xe1+ye2。我們把不共線的向量e1和e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底。

2.兩向量的夾角

已知兩個非零向量a和b。如圖所示,做向量OA=a,OB=b,則∠AOB=α(0°≤α≤180°)叫做向量a和b的夾角。

顯然,當α=0°時,a、b同向;當α=90°時,a、b垂直;當α=180°時,a、b反向。

3.平面向量的坐標運算

(1)概念:在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底,對於平面內的一個向量a,由平面向量基本定理可知,有且隻有一對實數x,y,使得a=xi+yj。這樣,平面內的任意向量a都可以由x,y唯一確定,我們把有序數對(x,y)叫做向量a的坐標,記作a=(x,y)。

(2)平面向量的坐標運算

設向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),k∈R,

則有a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),ka=(kx1,kx2).

(3)平面向量貢獻的坐標表示

①條件:a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.

②結論:當且僅當x1y2-x2y1=0時,向量a,b(b≠0)共線。

二、平面向量的數量積

1.平面向量數量積

(1)定義:非零向量a和b,我們把數量|a||b|cosα叫做向量a和b的數量積(或叫做內積),記作a·b,即a·b=|a||b|cosα,其中α是與b的夾角。

規定:零向量與任意向量的數量積均為0.

(2)性質:設向量a和b都是非零向量,他們的夾角為α

①a⊥b等價於a·b=0

②當a//b時,a·b=|a||b|等價於a、b同向;a·b=-|a||b|等價於a、b反向。

③a·a=|a||a|

④cosα=a·b/|a||b|

⑤|a·b|≤|a||b|

(3)數量積的幾何意義

①投影的概念:b在a的方向上的投影為|b|cosα

②數量積的幾何意義:數量積a·b等於a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosα的乘積。

(4)向量數量積的運算律

①a·b=b·a(交換律)

②(ka)·b=k(a·b)=a·(kb)(結合律)

③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)

(5)坐標形勢下的數量積

設向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1*x2+y1*y2.

當a⊥b時,a·b=x1*x2+y1*y2=0.

2.與向量的模、夾角相關的三個重要公式

(1)向量的模:設a=(x,y),

則|a|=

(2)兩點間的距離公式:

若A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|²=(x1-x2)²+(y1-y2)²

(3)向量的夾角公式:設兩非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a和b的夾角為α,

則cosα=

總結

(1)平面向量基本定理以向量線性運算為基礎,是高考考察的重點,常以選擇題、填空題的形式出現。平面向量的坐標運算,平面向量共線的坐標表示和用坐標的形式研究響亮的模、響亮的平行、垂直及夾角表述也是高考考察的熱點和重點。

(2)向量的數量積是高考的常考之一,以考察概念和運算為主,重點是向量夾角的求解和垂直關系的判斷,有時候結合幾何圖形考察數量積,常以選擇題或填空題的形式出現。高考在向量的應用考察上主要是:1.向量在解析幾何中的證明作用(主要是平行和垂直關系)2.與向量有關的新定義問題,創建新的運算.

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