轉自個人公眾號：初高中數理化寶典
一、平面向量基本定理及坐標表示
1.平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任意向量a，有且隻有一對實數x、y，是a=xe1+ye2。我們把不共線的向量e1和e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底。
2.兩向量的夾角
已知兩個非零向量a和b。如圖所示，做向量OA=a，OB=b，則∠AOB=α（0°≤α≤180°）叫做向量a和b的夾角。
顯然，當α=0°時，a、b同向；當α=90°時，a、b垂直；當α=180°時，a、b反向。
3.平面向量的坐標運算
（1）概念：在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對於平面內的一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且隻有一對實數x，y，使得a=xi+yj。這樣，平面內的任意向量a都可以由x，y唯一確定，我們把有序數對（x，y）叫做向量a的坐標，記作a=（x，y）。
（2）平面向量的坐標運算
設向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），k∈R，
則有a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),ka=(kx1,kx2).
（3）平面向量貢獻的坐標表示
①條件：a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.
②結論：當且僅當x1y2-x2y1=0時，向量a，b（b≠0)共線。
二、平面向量的數量積
1.平面向量數量積
(1)定義：非零向量a和b，我們把數量|a||b|cosα叫做向量a和b的數量積（或叫做內積），記作a·b，即a·b=|a||b|cosα，其中α是與b的夾角。
規定：零向量與任意向量的數量積均為0.
（2）性質：設向量a和b都是非零向量，他們的夾角為α
①a⊥b等價於a·b=0
②當a//b時，a·b=|a||b|等價於a、b同向；a·b=-|a||b|等價於a、b反向。
③a·a=|a||a|
④cosα=a·b/|a||b|
⑤|a·b|≤|a||b|
（3）數量積的幾何意義
①投影的概念：b在a的方向上的投影為|b|cosα
②數量積的幾何意義：數量積a·b等於a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosα的乘積。
（4）向量數量積的運算律
①a·b=b·a(交換律)
②（ka）·b=k（a·b）=a·（kb）(結合律)
③（a+b）·c=a·c+b·c（分配律）
（5）坐標形勢下的數量積
設向量a=（x1,y1），b=（x2,y2），則a·b=x1*x2+y1*y2.
當a⊥b時，a·b=x1*x2+y1*y2=0.
2.與向量的模、夾角相關的三個重要公式
（1）向量的模：設a=（x，y），
則|a|=
（2）兩點間的距離公式：
若A(x1，y1)，B(x2，y2），則|AB|²=（x1-x2）²+（y1-y2）²
（3）向量的夾角公式：設兩非零向量a=(x1，y1),b=(x2,y2),a和b的夾角為α，
則cosα=
總結：
（1）平面向量基本定理以向量線性運算為基礎，是高考考察的重點，常以選擇題、填空題的形式出現。平面向量的坐標運算，平面向量共線的坐標表示和用坐標的形式研究響亮的模、響亮的平行、垂直及夾角表述也是高考考察的熱點和重點。
（2）向量的數量積是高考的常考之一，以考察概念和運算為主，重點是向量夾角的求解和垂直關系的判斷，有時候結合幾何圖形考察數量積，常以選擇題或填空題的形式出現。高考在向量的應用考察上主要是：1.向量在解析幾何中的證明作用（主要是平行和垂直關系）2.與向量有關的新定義問題，創建新的運算.
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