量子力學（微電子專業）筆記 13

(圖片來自百度，侵刪)

上一回我們介紹瞭非簡並的定態微擾問題，今天我們介紹，簡並態的定態微擾理論。難度僅僅限制在一級能量的修正項。先用實驗引出。 \ \

1.現象

~~ 一級Stark效應【現象】氫原子的光譜在外電場的作用下發生分裂 \

【解釋】在量子力學的角度上來講，Stark效應在外電場的作用下發生瞭光譜的分裂的真相是氫原子的具有簡並態的能級在外電場的作用下發生瞭分裂，分裂成瞭不同的能級，主要是因為外電場對整個本來的體系來說相當於是一個微擾，微擾導致屬於同一能級的不同的本征態在微擾之後的體系中能量不一樣，因此發生瞭能級分裂。Stark效應是典型的簡並定態微擾理論

Image

Stark效應圖示

\ \

2. 解

\ 2.1【方法論】依舊承襲非簡並定態微擾理論的問題微擾體系：hat{ mathcal{ H }}=hat{ mathcal{ H }}'+hat{ mathcal{ H }}^{(0)}

原體系： hat{ mathcal{ H }}^{(0)}|n^{0}_irangle= E _ n ^{(0)} | n^{(0)}_irangle \ | n ^ {(0)} rangle = a_{n,i} | n _i^{(0)} rangle\ small{i符合Einstein求和約定} 假如n能級是k度兼並的（在氫原子或者類氫原子的就是n方度簡並的嘍）那：i=1,2,3…k 那自然會有： hat{ mathcal{ H }}^{(0)}|n^{(0)}rangle =E_n|n^{(0)}rangle 然後利用承襲自非簡並定態微擾理論的式子：

(hat {mathcal{H}}^{(0)} – E^{(0)}_n)| n ^{ (0 ) } rangle=-(hat{mathcal{H}}'-E_n^{(1)})|n^{(0)}rangle

2.1【定理】簡並態定態微擾可以用久期方程求出來

begin{vmatrix} mathfrak{H'}_{11}^{(E_n^{(0)})}-E_n^{(1)} & mathfrak{H'}_ {12}^{(E_n^{(0)})} & cdots & mathfrak{H'} _ {1k}^{(E_n^{(0)})}\ mathfrak{H'} _{21} ^{(E_n^{(0)})}& mathfrak{H'}_{22}^{(E_n^{(0)})}-E_n^{(1)} & cdots & mathfrak{H'} _{2k}^{(E_n^{(0)})}\ cdots & cdots & ddots & cdots \ mathfrak{H'}^{(E_n^{(0)})} _{k1}& mathfrak{H'}_{k2}^{(E_n^{(0)})} & cdots & mathfrak{H'}_{kk}^{(E_n^{(0)})} -E_n^{(1)} end{vmatrix}=0

► because (hat {mathcal{H}}^{(0)} – E^{(0)}_n)| n ^{ (0 ) } rangle=-(hat{mathcal{H}}'-E_n^{(1)})|n^{(0)}rangle \ \ 又because (hat {mathcal{H}}^{(0)} – E^{(0)}_n)| n ^{ (0 ) } rangle=0 \ \ therefore hat {mathcal H'} ^ {(0)} | n^{(0)} rangle = E_n^{(1)}| n ^ {(0)} rangle \ 將態矢量在由E_n^{(0)}的本征矢張成的子空間裡面展開也就是在{ |n_{k}^{(0)}rangle}張成的空間裡面表示算符和矢量：

therefore |n^{(0)}rangle rightarrow mathbf{n}^{(0)(E_n)}=begin{bmatrix} a_{n,1}\ a_{n,2}\ vdots\ a_{n,k} end{bmatrix} \ hat {mathcal H'} rightarrow mathbf{H'}^{(E_n^{(0)})}=\ \begin{bmatrix} mathfrak{H'}_{11}^{(E_n^{(0)})} & mathfrak{H'}_ {12}^{(E_n^{(0)})} & cdots & mathfrak{H'} _ {1k}^{(E_n^{(0)})}\ mathfrak{H'} _{21} ^{(E_n^{(0)})}& mathfrak{H'}_{22}^{(E_n^{(0)})} & cdots & mathfrak{H'} _{2k}^{(E_n^{(0)})}\ cdots & cdots & ddots & cdots \ mathfrak{H'}^{(E_n^{(0)})} _{k1}& mathfrak{H'}_{k2}^{(E_n^{(0)})} & cdots & mathfrak{H'}_{kk}^{(E_n^{(0)})} end{bmatrix}

therefore mathbf{ H' }^ {(E_n)} mathbf{n}^{(0)(E_n)} =E_n^{(1)}mathbf{n}^{(0)(E_n)} 由這個本征方程列出來的以a_{n,i}為變量的齊次線性方程組有非零解，所以系數矩陣的行列式為零也就是我們之前引出久期方程的方法： \ begin{vmatrix} mathfrak{H'}_{11}^{(E_n^{(0)})}-E_n^{(1)} & mathfrak{H'}_ {12}^{(E_n^{(0)})} & cdots & mathfrak{H'} _ {1k}^{(E_n^{(0)})}\ mathfrak{H'} _{21} ^{(E_n^{(0)})}& mathfrak{H'}_{22}^{(E_n^{(0)})}-E_n^{(1)} & cdots & mathfrak{H'} _{2k}^{(E_n^{(0)})}\ cdots & cdots & ddots & cdots \ mathfrak{H'}^{(E_n^{(0)})} _{k1}& mathfrak{H'}_{k2}^{(E_n^{(0)})} & cdots & mathfrak{H'}_{kk}^{(E_n^{(0)})} -E_n^{(1)} end{vmatrix}=0 ◄

然而並不一定這k個根都是完全一樣的，我們用E_{ni}^{(1)} 表示，而： E_napprox E^{(0)}_n+E_n^{(1)} 所以E_n會有最多k個完全不同的值，我們用E_{ni} 表示

【推論】通過E_{n,1} 回代到mathbf{ H' }^ {(E_n)} mathbf{n}^{(0)(E_n)} =E_n^{(1)}mathbf{n}^{(0)(E_n)} 中，我們可以解出mathbf{n}^{(0)(E_n)} ，就可以直接解出來零級近似的本征態矢量或者再用作求波函數。

ps:E_n^{(0)}的上標表示的是在屬於E_n^{(0)}的本征矢{|n^{(0)}_krangle}張成的空間裡表示這個矢量或者算符，這些本征矢自然也是正交歸一的，完不完備不好說，但是表示|n^{(0)}rangle所在的子空間已經足夠瞭。

後記

有疑問請指出:)