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一口氣瞭解 | 波的物理學,以及橫波的基本原理、描述和波動方程

來源:環球物理,原文來自頭條號量子科學論。

波在宇宙中是一種神奇的存在,是一種能量的載體,也是傳遞力的方式。我們熟知的水波、聲波、光波,都是以波的形式在傳遞能量!當然也包括所有的波長的電磁波,就連本該是粒子的微觀世界也具有波動性。這不僅讓我深思,波到底是什麼東西?

波每時每刻都在我們周圍,它不僅讓我們聽到美妙的音樂,還可以為我們加熱食物、享受**的水上運動,甚至可以說沒有波地球就不會有生命,因為我們地球萬物沐浴的陽光,也是一種波——電磁波。從古希臘開始,人們就對波產生瞭濃厚的興趣,公元前550年畢達哥拉斯觀察並描述瞭振動的弦是如何產生聲音的。

伽利略·伽利萊、羅伯特·波義耳和艾薩克·牛頓都在這一領域有瞭自己的發現,但直到18世紀達朗貝 (d'Alembert) 推導出瞭波動方程,才使得這一領域變得清晰,並使許多未來的科學傢才有可能解釋波動現象。其中,波動方程也揭示瞭波的傳播速度是有限的而不是瞬時,這也為以後的狹義相對論提供瞭支持。

01波的基本原理

簡單地說,波是一種傳播的擾動,是一種通過介質傳遞能量的方式。不同的波在不同的介質中傳播,例如:機械波、水波和聲波。曾幾何時,我們一直認為任何波的傳遞都需要介質,我們甚至自己發明出瞭以太這種並不存在的物質,以解釋電磁波的傳遞,但自從邁克遜-莫雷實驗以後,我們才認識到原來電磁波不需要介質就可以傳播,甚至引力波也可以通過擾動空間的方式傳播。

根據波的傳播方式,我們有兩種基本的波:橫波和縱波。因為這是個比較大的概念,所以在這篇文章中,我們將更多地關註橫波(電磁波就是橫波),而把縱波留下篇我們講聲波的時候再說。

對於縱波來說,質點被擾動的方向與波傳播的方向平行,介質中質點之間會被壓縮和膨脹。另一方面,橫波沿著與質點運動垂直的方向移動,所以當質點上下振動時,波會向左或向右移動。

介質是相互作用的質點**

在波傳播的過程中,質點一直在相互影響,現在你想象一根弦,並且向上移動一個質點,其他的質點也會跟著移動。最簡單的形象化的方法就是用一個彈簧,當彈簧中的第一個線圈受到幹擾時,它會推或拉第二個線圈,第二個線圈也會對第三個線圈做出同樣的動作,這時我們就能看到波動。線圈會上下移動,但波會左右傳播。對於橫波,介質中的每一個質點都在一個固定的位置上振蕩,波的傳播方向垂直於這個振蕩。見下圖:

波不沿傳播方向移動質量,波隻傳遞能量

在橫波中,上下振動的質點使它們旁邊的質點也開始振動。質點之間沒有相互傳遞質量,也沒有收縮或擴張。質點所做的就是把能量傳遞給另一個質點,如果沒有能量傳遞,另一個質點就不會振動,也不會形成波。波沒有質量的運動,被認為是能量傳輸的現象。我們需要知道的是,能量總是以波的形式在傳輸,那麼你覺得體育場的人浪真的是波浪嗎?不,我們稱人浪為波,隻是因為人浪的運動類似於波的運動,但人和人之間由於沒有發生能量的轉移,所以它們不是真正的波。

02對波的描述

頻率、波長和振幅

我們可以用很多物理量來描述一個波,但最重要的是波的頻率、波長和振幅。波的振幅 (A) 是粒子從其平衡位置的最大位移,我們也稱它為波的高度,類似於簡諧運動的振幅。

波長 (λ) 是波一個周期的長度,可以在波的任何地方看到,在兩個連續的波峰、波谷,或波的任何其他兩個等效點之間的距離。因為振幅和波長都在測量距離,所以它們都以米 (m) 為單位。

周期

我們還需要解釋的另一個重要的物理量是周期。波周期 (T ) 是任何質點完成一個完整振動周期所需要的時間,也就是一個質點從它開始的地方振動,然後回到它開始的地方所需要的時間。以秒為單位測量,並且與頻率有直接的關系。我們總是可以從一個得到另一個,因為頻率是在一定時間周期內沿波的任何點完成的波周期數,以赫茲為單位 (Hz),f=1/T

重要的是要認識到,根據坐標軸的不同,在上圖中可以觀察到不同的內容。如果我們在x 軸上用米來表示位移,那麼我們可以清楚地看到,從一個波峰到另一個波峰的距離,也就是波長;但是如果我們在x 軸上放上時間,那麼我們就可以看到從一個波峰到另一個波峰的周期。在這兩種情況下,我們可以在y 軸上看到波的振幅。

波速

我們也可以把速度放在x 軸上,但是我們先下一個定義,在物理中的速度的定義是這樣的:物體在一定時間內通過的距離,波的速度也是這樣的,簡單的說就是,距離除以時間。

波速告訴我們波的傳播速度,它可以用波長和周期來表示,也可以用波長和頻率來表示。在這兩種情況下,速度都是以m/s為單位測量的。

相位差

在繼續討論波動方程之前,我們還需要學習的是波的相位。它是一個角度量,以弧度為單位。我們說被一個完整周期分開的相鄰點是同相的,而那些被半個周期分開的點是異相的。可以在下圖中看到相位差的樣子。

相位差又稱“相角差”“相差”“周相差”或“位相差”,兩個做周期變化的物理量的相之間的差值。它為正值時,稱前者超前於後者;為負值時,則滯後於後者。它為零或π 的偶數倍時,兩物理量同相;為π 的奇數倍時則稱反相。

03波動方程

上文中已經涵蓋瞭很多關於波的常識,然而,到目前為止所看的一切隻能看作是對波的簡單介紹。下面來介紹波的實際定義,讓我們先總結一些上文的一些內容:

  • 波長:波的一個周期的長度,單位為米 (m);
  • 振幅:平衡位置最大位移,單位為米 (m);
  • 周期:波完成一個完整周期的時間,單位為秒 (s);
  • 頻率 :單位時間內完成的周期數,單位赫茲 (Hz);
  • 速度:波速,單位 (m/s) ;
  • 相位:時間點的位置,單位弧度。

用數學方法描述波時,最基本的波是一維正弦波。我們用下面的方程來描述振幅u

式中,xt 是時間和空間坐標,A 是最大振幅,k 是波數,ω 是角頻率,ϕ 是相位。

我們可以用正弦或餘弦兩種方式來表示空間中一個平面內的行波:

一維波動方程是一維波的主偏微分方程的解:

當然,波動方程的解可以用幾種方法來表示,這取決於我們對相關參數的選擇。

橫波運動的描述:

04 總結

以上的內容並不是波的所有內容,我個人認為波是相當復雜的物理學,今天介紹的隻是我們需要瞭解的基礎性知識。在這篇文章中,我們討論瞭以下內容:

  • 波是如何產生和與振動相關的;
  • 縱波和橫波的差異;
  • 橫波的簡單描述:avTfλϕ
  • 波函數與方程。

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