半路碼農轉行學物理，難免理解有誤，希望各位不吝賜教！

第一次接觸固體物理，其中的倒格失和k空間一直讓我摸不著頭腦，記錄一下自己的理解。通過寫一遍梳理的同時，也方便日後回顧。

0、碎碎念之量子力學

該板塊沒有什麼實際意義，僅僅是碎碎念，可使用左側目錄直接跳過。學習大學物理時，打碎我對物理學大廈美好幻想的一是相對論，二就是量子力學瞭。相對論還好說，基礎假設可以理解，但是對於你看我變短，我看你也變短，那麼到底誰變短傻傻分不清。感覺參考系很重要，沒有以前經典物理那種絕對正確的上帝視角瞭（坐標系）。但是量子力學中為什麼不連續，為什麼隻能取那幾個整數值是我之前百思不得其解的。後面看瞭崔宏濱老師的《原子物理學》找到瞭一種說法能說服自己。不過還是要強調，從量子力學開始，最好還是不要再去找理論的現實對應瞭。也就是說不要嘗試取理解那些抽象概念背後對應的經典物理圖像，這樣會降低你的學習效率和思維模式，很折磨自己，而且很多也是錯誤的。不過對於我這種深陷經典物理泥潭的人來說，不找到一個經典圖像來說服自己，會讓我很抓狂，這也是我寫這篇文章的意義，想要去從經典的角度理解一些抽象的概念。不過並不建議你記住，因為很可能是對你的誤導，但是如果你實在難受到上網搜XXX概念的物理意義，不對應一下渾身難受，那麼或許本文會給你一些幫助。

對於量子力學中為什麼XXX隻能取幾個值，可以從駐波的角度去理解。一個經典的黑體輻射問題，假設有一個黑箱，我們往裡面射入各種波長的電磁波，如下圖，經過一段時間後，隻有波長滿足駐波條件的電磁波才能長久存在，其他波長的電磁波會疊加湮滅，如下下圖。

崔宏濱，《原子物理學》，P100崔宏濱，《原子物理學》，P83

上圖中可以看出隻有 vec{k} 滿足如圖條件的波才能穩定存在，即vec{k}隻能取一定數值，而不能任意取，對於電子也是這樣。在電子軌道上，隻有滿足駐波條件的電子波才能存在，如下圖。註意：電子沿固定軌道繞原子核旋轉這個概念已經被認為是錯誤的瞭，這裡隻是方便理解。

崔宏濱，《原子物理學》，P100

從而我們可以得到滿足條件的駐波。

2pi r=nlambda=nfrac{h}{p}=nfrac{h}{mv} Rightarrow mvr=nfrac{h}{2pi}

其中 r 為軌道半徑， p 是動量， lambda=frac{h}{p} 是德佈羅意物質波公式。進而我們可以推到角動量

P_{varphi}=mvr=nfrac{h}{2pi}=nhbar

所以角動量隻能取固定的值，這也是玻爾模型第三個假設。

1、波矢k的定義

我們一般表示一個波為 e^{i(omega t-kx)} ，這似乎與中學時期學的不太一樣，中學時期可沒有 k 這個量，那麼 k 是什麼呢。在中學，我們學到的在 x 點的機械波表達式為 sin[omega (t – frac{x}{v})] ，其中 v 為波速。同時我們還有如下定義。波長：波走一個周期的長度， lambda=vT=frac{v}{f} 。角速度： omega=2pi f 。帶入機械波表達式中。

sin[omega(t-frac{x}{v})]=sin(omega t-omegafrac{x}{v})=sin(omega t-2pi f frac{x}{lambda f})=sin(omega t-frac{2pi}{lambda}x)=sin(omega t-kx)

可以看出 k=frac{2pi}{lambda} ，我們稱之為波矢，量綱為長度分之一。那麼波矢 k 到底有什麼意義呢？別急，我們先看看 omega 和 t 的關系。

2、傅裡葉變換：時域到頻域的轉換

在信號處理中，我們經常將信號從時域 t 的函數，轉換到頻域 omega 的函數： f(t)rightarrow f(omega) 。關於時域和頻域的解釋，知乎這篇文章介紹的很清楚：

為瞭方便，我截取該回答中一些圖片進行說明（更建議直接看原回答）。比如一個正弦信號，經過傅裡葉變換會變成一個狄拉克函數（信號處理中叫沖激函數），如圖所示。

原回答中畫的正弦波

該正弦函數 sin(omega_{0} t) 經過傅裡葉變換，在頻域變為 frac{delta(omega -frac{omega_{0}}{2pi})-delta(omega +frac{omega_{0}}{2pi})}{2} 。而 e^{iomega t} 經過傅裡葉變換，在頻域變為 delta(omega -frac{omega_{0}}{2pi}) ，如下圖。隻觀察 omega>0 部分的話， sin 和 e 傅裡葉變換後隻差個 frac{1}{2} 倍數關系。

上圖正弦函數對應的頻域圖

同時傅裡葉還告訴我們，任意一個周期波形都可以看成是一堆頻率、幅度、相位各不相同的正弦信號相疊加成的，如下圖。

原回答使用四個正弦信號構成方波原回答中將一段聲波信號分解為幾個正弦信號

原回答中還利用正弦信號畫貓、恐龍，感興趣的可以直接看原回答，這裡不復制過來瞭。隻要能將一個信號分解為多個正弦信號疊加，我們就可以把他變成頻域上一組數據。這裡截取另一個回答中的圖。

可以看到時域的波形變為瞭頻域的離散點

那麼為什麼我們要費力將時域轉換為頻域呢？這是因為頻域更好處理。比如一首歌高音部分和低音部分，不是通過時域波形判斷的，而是通過頻率范圍判斷的。另外我們現在很多降噪藍牙耳機，我們並不希望它像耳塞一樣把所有聲音去除瞭，而是希望去掉噪聲，保留人聲（這樣和別人聊天可以不用摘下耳機）。那麼如何分辨人聲和噪聲呢，顯然不能通過聲音大小來判斷，那麼我們就會使用頻率范圍判斷。還有平常收聽廣播和對講機，如何從互相幹擾的電磁波中收聽到你想要的那個電臺，就需要通過頻率來分辨。

傅裡葉變換的神奇之處就在於可以將一組在時域上難以分割的波形，變為頻域上可以分開的點。就像牛頓當年研究色散用的三棱鏡一樣，可以把白光分成不同顏色（頻率范圍）的光。

三棱鏡，圖源：必應圖片

從另一個角度說，小時候玩的放大鏡（凸透鏡）其實是我們接觸最早的的傅裡葉變換。不同波長的光其實通過凸透鏡後匯聚的焦點距離不同。

3、傅裡葉變換： x和k之間的轉換

眼尖的同學可能發現瞭，在表達式 e^{i(omega t-kx)} 中， omega和 t 的關系與 k 和 x 的關系是等價的。既然傅裡葉變換能讓具有 t 周期性的函數 f(t) 轉換成 f(omega) ，那麼同理傅裡葉變換也可以讓具有 x 周期性的函數 E(x) 轉化為 E(k) 。事實上隻要數學上滿足 e^{iAB} 形式的 A 和 B 都可以使用傅裡葉來轉換，但是如果這個轉換想具有物理意義，那麼 A 和 B 的量綱要具有倒數形式，比如 omega 的量綱是時間分之一， k 的量綱是長度分之一。

如何從波的公式更直觀的理解呢。對於一個確定位置 x_{0} ，在不同時刻它的幅度為 f(t,x_{0})=Asin(omega t+kx_{0}) 。那麼我們可以得到 f(t_{0},x_{0})=f(t_{0}+frac{2pi}{omega},x_{0}) ，說明 t_{0} 時刻和 t_{0}+frac{2pi}{omega} 時刻的波是相等的，也就是所謂的時間周期性。但反過來，對於一個確定的時間 t_{0} ，我們也可以得到 f(t_{0},x_{0})=f(t_{0},x_{0}+frac{2pi}{k}) ，說明位置 x_{0} 和位置 x_{0}+frac{2pi}{k} 是相等的。

在固體物理中，晶體存在晶胞，擁有空間上的周期性，沿任意晶胞長度平移任意距離不變。所以在晶體中我們可以用 k 和 x 的關系來比對頻域 omega 和時域 t 的關系。假設能量 E(x) 在空間 x 中有一定周期分佈（類比於第二節中的方波 f(t) ），我們可以將 E(x) 分解為很多具有正弦形式的 E_{i}(x) 相加，即

E(x)=E_{0}(x)+E_{1}(x)+E_{2}(x)+ …

通過對正弦形式的 E_{i}(x) 做傅裡葉變換，我們可以將 E(x) 變換到 E(k) （ k 空間）上。

那麼為什麼晶體中周期性原子排佈滿足 e^{i(omega t-kx)} 的形式呢，可以看看黃昆老師的《固體物理學》P82一維單原子鏈那一節。是因為這個解剛好滿足周期性排佈原子的方程形式，算是一種試探解。

4、 波矢k具有的其他意義

那麼 k 還有沒有其他實際的物理意義呢，答案是有的。德佈羅意關系告訴我們能量 E=hbar omega ，動量 p=hbar k 。所以我們常說 k 空間也叫動量空間，即坐標空間的傅裡葉變換是動量空間。不過我這種凡人不知道德佈羅意大師是怎麼突發奇想想到那兩個關系的，有沒有什麼更直接的方式證明坐標空間和動量空間滿足傅裡葉變換呢，還是有的，可以參考下面使用量子力學的證明。

這麼一看 e^{i(omega t-kx)} 就相當優美瞭，前面的 omega 對應能量，後面的 k 對應動量。同時 E 和 t 可以通過傅裡葉轉換， p 和 x 也可以通過傅裡葉轉換。等等，這對應關系貌似有點耳熟，這不是常說的不確定關系麼？

回到第二節，我們可以看到在時域 t 上從 -infty 到 +infty 的正弦波形，到頻域 omega 中就隻剩下一個點瞭（狄拉克函數） 。說明能量確定 Delta E =0 的話，時間就是無窮的。同理 p 確定的話， Delta x 就是無窮的。滿足傅裡葉變換的都滿足這個關系。再比如高斯波包和他對應的傅裡葉變換。

曾謹言，《量子力學 卷I》，P37

不過不同於 omega 與 t ，現實中我們很容易得到電磁波 f(t) 的表達式。但是在晶體中，我們並不知道 E(x) 的形式，更不要說分解成 E_{i}(x) 瞭。但是幸好我們知道能量 E 和動量 p 的關系 E=frac{p^{2}}{2m}+V(x) ，我們又知道 p=hbar k ，所以得到 E 和 k 是二次函數關系。這裡我們可以發現我們隻是借助瞭 x 周期性的特點，引導出 k 空間。但實際應用的時候我們並不會像信號處理中對電磁波 f(t) 進行傅裡葉變換到 f(omega) ，而是直接分析 E(k) 。因為物理中我們對能量 E 和動量 p 的認識比對 E 和 x 的關系深刻多瞭。這也是固體物理相對比較抽象的原因，因為使用的是 k 空間，而非經典中的 x 空間。但是隻要你願意，你是可以把 E(k)使用傅裡葉逆變換變到 E(x) 空間，不過這麼做沒有什麼實際意義。因為一個 -inftyrightarrow+infty 的 x 空間並不比一個隻有佈裡淵區大的 k 空間好分析。所以我認為使用傅裡葉變化是把一個有無窮周期特點的函數變成一個有界函數。

黃昆，《固體物理學》，P163

進一步用微擾考慮狀態與狀態間的互相影響。

黃昆，《固體物理學》，P166

然後平移到簡約波矢，變為常見的能帶。這裡平移的時候顯然就不再是用的實空間 x 瞭，而是用的經過傅裡葉變換的 x ，也就是我們平常說的倒格矢。相信很多初學者一開始學固體物理和我一樣懵逼，為什麼要費盡心思定義一個奇奇怪怪的倒格失呢，現在看來是為瞭方便我們在 k 空間進行處理。

黃昆，《固體物理學》，P170

如果考慮更多的量子數狀態，會產生更多分裂，最終就變成瞭《原子物理學》中的樣子。

黃昆，《固體物理學》，P167