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平面幾何:根軸與根心

前置知識:

根軸與圓冪定理緊密相關

可以證明,到兩圓等冪的點的軌跡是一條直線,這條直線被稱為兩圓的根軸

根軸有以下性質:

1、若兩圓相交,其根軸就是公共弦所在的直線

2、若兩圓相切,其根軸就是過兩圓切點的公切線

3、若兩圓相離,其根軸就是過兩圓四條公切線段中點的直線

4、在任何情形下,根軸垂直於兩圓連心線

5、(根心定理)三個圓,兩兩的根軸或交於一點,或互相平行

下面用分別用一個題目作為根軸與根心具體應用的例子

例1、在凸五邊形ABCDE中,AB=AEangle ABC=angle AED=90^circP為五邊形內一點,使得BPbot ACEPbot AD,證明:APbot CD

證法一:

由射影定理,CB^2=CKcdot CADE^2=DLcdot DA

CDodot Aodot AKL的根軸

odot AKL的圓心在線段AP上,所以APbot CD

證法二:

AKcdot AC=AB^2=AE^2=ALcdot AD

APodot CKPodot DLP的根軸

odot CKPodot DLP的連心線平行於CD,所以APbot CD

例2、在triangle ABC中,AB<AC,點K,L,M分別是邊BC,CA,AB的中點,triangle ABC的內切圓圓心為I,且與邊BC相切與點D,直線l經過線段ID的中點且與IK垂直,與直線LM交於點P,證明:angle PIA=90^circ

證:

triangle BIC的外接圓為圓gamma,記以K為圓心,KD為半徑的圓為圓omega

易知圓gamma的圓心為triangle ABC的外接圓中mathop{BC}limits^{frown}的中點

由對稱性,X,Y分別於C,B關於直線AI對稱

begin{align} MXcdot MB&=(AX-AM)cdot MB\ &=(AC-AM)cdot MB\ &=frac{(2AC-AB)cdot AB}{4}\ &=frac{AC^2}{4}-(frac{AC-AB}{2})^2\ &=MK^2-DK^2 end{align}

因此,點M在圓gamma與圓omega的根軸上,類似地,點L也在這兩圓根軸上

從而直線ML即為這兩個圓的根軸

又因為直線l是點圓I與圓omega的根軸

故點P是點圓I,圓omega,圓gamma的根心,直線PI即為點圓I與圓gamma的根軸

而事實上,點圓I與圓gamma的根軸為圓gamma在點I處的切線,與AI垂直

所以angle PIA=90^circ

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