前置知識：
根軸與圓冪定理緊密相關
可以證明，到兩圓等冪的點的軌跡是一條直線，這條直線被稱為兩圓的根軸
根軸有以下性質：
1、若兩圓相交，其根軸就是公共弦所在的直線
2、若兩圓相切，其根軸就是過兩圓切點的公切線
3、若兩圓相離，其根軸就是過兩圓四條公切線段中點的直線
4、在任何情形下，根軸垂直於兩圓連心線
5、（根心定理）三個圓，兩兩的根軸或交於一點，或互相平行
下面用分別用一個題目作為根軸與根心具體應用的例子
例1、在凸五邊形ABCDE中，AB=AE，angle ABC=angle AED=90^circ，P為五邊形內一點，使得BPbot AC，EPbot AD，證明：APbot CD
證法一：
由射影定理，CB^2=CKcdot CA， DE^2=DLcdot DA
故CD是odot A與odot AKL的根軸
而odot AKL的圓心在線段AP上，所以APbot CD
證法二：
AKcdot AC=AB^2=AE^2=ALcdot AD
故AP是odot CKP與odot DLP的根軸
而odot CKP與odot DLP的連心線平行於CD，所以APbot CD
例2、在triangle ABC中，AB<AC，點K,L,M分別是邊BC,CA,AB的中點，triangle ABC的內切圓圓心為I，且與邊BC相切與點D，直線l經過線段ID的中點且與IK垂直，與直線LM交於點P，證明：angle PIA=90^circ
證：
記triangle BIC的外接圓為圓gamma，記以K為圓心，KD為半徑的圓為圓omega
易知圓gamma的圓心為triangle ABC的外接圓中mathop{BC}limits^{frown}的中點
由對稱性，X,Y分別於C,B關於直線AI對稱
begin{align} MXcdot MB&=(AX-AM)cdot MB\ &=(AC-AM)cdot MB\ &=frac{(2AC-AB)cdot AB}{4}\ &=frac{AC^2}{4}-(frac{AC-AB}{2})^2\ &=MK^2-DK^2 end{align}
因此，點M在圓gamma與圓omega的根軸上，類似地，點L也在這兩圓根軸上
從而直線ML即為這兩個圓的根軸
又因為直線l是點圓I與圓omega的根軸
故點P是點圓I，圓omega，圓gamma的根心，直線PI即為點圓I與圓gamma的根軸
而事實上，點圓I與圓gamma的根軸為圓gamma在點I處的切線，與AI垂直
所以angle PIA=90^circ