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運動狀態的描述

(運動無處不在,運動會就是一場關於運動的盛會。你是否記得2008年北京奧運會的呢?還有這首主題曲《我和你》/《you and me》?牙買加的博爾特曾以9秒69的驚人成績打破世界記錄,美國的菲爾普斯一人狂攬八金。2022年讓我們期待北京冬奧會!)

牛頓力學主要包括三塊:運動學、靜力學、和動力學。運動學是對物體運動狀態的描述;靜力學是對處於靜止狀態或者勻速直線運動狀態的物體進行受力分析,研究的對象一般情況下所受合外力為零;動力學是對物體運動狀態與所受的力之間的關系的研究,主要涉及兩類物體:已知物體的運動狀態求物體的受力情況;已知物體的受力情況求物體的運動狀態。

我們今天系統地瞭解一下物體的運動狀態的描述,這屬於運動學的內容。我們已經對科學的過程有所瞭解瞭——描述、分析、和解釋。科學上,我們用數學語言對自然事物現象進行描述。因為數學語言是一種思維邏輯語言,它天然具有客觀性。對自然事物現象的描述,我們要以求真的態度實事求是地去進行描述,用數學的工具表述出來。

對於某個物體的運動狀態描述,我們該如何下手?首先,我們要有一些描述的基本要素。例如我們對一個蘋果進行描述,它的基本要素可能是顏色、大小、甜度、價格等等;如果我們對一個人進行介紹或者自我介紹,一般情況下會涉及這些方面:名字、來自哪裡、興趣愛好等等。對一個物體的運動狀態的描述類似,它主要包含的要素是速度、加速度、位移等等。有瞭對事物運動狀態的描述的基本要素,我們知道從哪些方面入手進行描述瞭。

在物理上,速度、加速度和位移的概念不同於我們日常生活中的概念。我們生活中其實也會用到這幾個詞,但是含義和物理上還是有區別的。我們一般情況下說的速度和位移,在物理上其實應該是速率和路程。這兩者的區別是什麼?就是方向性。我們日常生活的概念不涉及方向性,而物理上的這些概念都具有方向性。舉個例子,我們平時說某輛車速度是80公裡/小時,其實就是說它跑的有多快。在物理上,這樣的表述是不完整的,它缺少瞭方向的描述。在物理上的描述應該是這樣的:這輛車向著東南方向的速度是80公裡/小時,這樣描述才算完整。

有瞭上面的瞭解,我們接下來介紹物體運動狀態描述的數學工具。速度和位移這樣的物理量不僅有大小而且有方向,所以我們需要的數學工具應該也是這樣的才對。在數學上,既有大小又有方向的量叫做向量,隻有大小的量叫做標量。所以我們需要的數學工具就是向量,在物理上我們叫做矢量,換瞭一個名字而已。在物理上,所有的既有大小又有方向的物理量都是矢量,例如力,力矩、磁矩、電流密度等等。

(矢量)

矢量既有大小又有方向,表示它的符號通常是一根箭,它的名字就來源於此。直觀上,矢量通常被標示為一個帶箭頭的線段。線段的長度可以表示矢量的大小,而矢量的方向也就是箭頭所指的方向。例如速度就可以用一根箭來表示。更簡單地說,速度是用矢量來表示的,它的長度是某種選定單位的長度的若幹倍,用以表示速度的數值,它的方向就是運動的方向。物理定律的矢量表達跟坐標的選擇無關,矢量符號為表述物理定律提供瞭簡單明瞭的形式,且使這些定律的推導簡單化,因此矢量是研究物理學的有用工具。

矢量之間的運算要遵循特殊的法則。矢量加法一般可用平行四邊形法則。由平行四邊形法則可推廣至三角形法則、多邊形法則或正交分解法等;矢量減法是矢量加法的逆運算,一個矢量減去另一個矢量,等於加上那個矢量的負矢量;矢量的乘法相對復雜。矢量和標量的乘積仍為矢量。矢量和矢量的乘積,可以構成新的標量,也可構成新的矢量,前面的叫做點乘,後面的叫做叉乘。例如,物理學中,功、功率等的計算是采用兩個矢量的點乘。力矩、洛倫茲力等的計算是采用兩個矢量的叉乘。

到目前,我們已經瞭解瞭從哪些方面去描述一個物體的運動狀態和描述所需要的數學知識。我們接下來理論上就可以對一個物體的運動狀態進行描述瞭,它的位置如何的隨時間變化。對一個事物的準確而真實的描述,是科學研究的起點。也是科學研究的重要材料,巧婦難為無米之炊,描述是非常重要的。在此我再次強調一下我們對待描述的科學態度和科學精神:實事求是,認真對待,絕對不能弄虛作假,尊重事物的客觀規律。

我們接下來做一些關於運動學相關知識和技巧方面的補充介紹,這樣你就可以一覽無餘地看到整個運動學的樣貌。在物理上,有兩個理想化概念:質點和剛體。這二者也形成瞭運動學的兩個基本分支:質點運動學和剛體運動學。掌握瞭這兩類運動,才可能進一步研究變形體(彈性體、流體等)的運動。

質點就是有質量但不存在體積或者形狀的點,相當於把研究的物體看成瞭一個點。並不是真的不管物體的體積和形狀,而是此時物體的體積和形狀不起作用或者所起的作用並不顯著從而可以忽略不計。例如我們一輛汽車的速度時,我們可以把汽車當作一個質點進行描述,其結果是不變的。剛體是指在運動中和受到力的作用後,形狀和大小不變。而且內部各點的相對位置不變的物體。絕對剛體實際上是不存在的,隻是一種理想模型,因為任何物體在受力作用後,都或多或少地變形,如果變形的程度相對於物體本身幾何尺寸來說極為微小,在研究物體運動時變形就可以忽略不計。例如,物理天平的橫梁處於平衡狀態,橫梁在力的作用下產生的形變很小,可將橫梁當作剛體。

剛體還會涉及到轉動,而我們本文裡說的所有的運動其實是平動。平動顧名思義就是平行移動,例如汽車在路上跑就是平動。但是一個物體有時候不僅在做平動,還可以在打轉前行,其實這就是轉動。例如陀螺的運動。轉動是有規律的,一般物體的轉動是圍繞著一個軸做快慢不同的圓周運動。轉動要用角速度、線速度、力矩、轉動慣量等物理量進行描述。

物體除瞭做勻速運動外,也可能做勻加速運動。除瞭直線運動外,也可能做曲線運動。而且生活中更多的是加速運動和曲線運動。勻加速運動比較簡單,物體在做一個加速度不變的運動。我們主要談談曲線運動,例如平拋運動、斜拋運動、勻速圓周運動,它們的運動軌跡都是曲線。我們又該如何來描述曲線運動呢?曲線運動明顯受到瞭外力,但是我們這裡不管力而隻做純運動狀態的描述。

(曲線運動)

在物理上有一種微元法,就是把一個物理過程分解成眾多微笑的“元過程”,而且每個“元過程”所遵循的規律是相同的。這樣,我們隻需分析這些“元過程”,然後再將“元過程”進行必要的數學方法或物理思想處理,進而使問題求解。我們用微元法來分析曲線運動,發現曲線運動的每個“元過程”都是直線運動。這樣我們就回到原來的直線運動描述瞭,例如對每一時刻物體的速度大小和方向我們就很容易知道瞭。

除瞭上面的方法,還有一種比較特殊的方法,我把它叫做運動狀態的分解與合成。我們之前學過力的分解與合成,而物體所受的力和運動狀態是一一相對的,因為曲線運動明顯是有外力影響的運動,所有我們可以對物體的運動狀態進行分解。例如平拋運動,我們其實可以分解成為兩種基本的運動:水平方向的勻速運動和豎直方向的勻加速運動。這樣本來復雜的曲線運動就被我們分解成瞭簡單基本的勻速運動和勻加速運動。微元法和分解與合成是科學上很重要的兩種思想方法,你需要掌握。

我希望你讀完文章後,可以對物理上的描述有一個清晰的認識。描述是科學的起點和材料,好的描述有利於人們發現背後的物理規律。你也基本上對整個運動學有瞭一個宏觀的瞭解,運動學的數學工具是矢量。矢量也是整個經典物理的最重要的數學工具之一。也希望你能瞭解兩種科學的思想方法——微元法和分解與合成思想,這對你的日常生活和思考問題都有幫助。

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