群表示論

群表示的概念

群表示的目的是用矩陣表示抽象的群的概念。

【定義】設G是一個抽象群，若存在一個同態映射 rho:mathbb{G}rightarrow GL(mathbb{V})

則稱 {rho(a)|forall ainmathbb{G} }in GL(mathbb{V}) 為群G的一個線性表示，若映射是單射的，則稱為忠實表示。這個向量空間被稱為表示空間，向量空間的維數被稱為表示的維數。

不難證明的是： arightarrow rho(a)rightarrow D(a),brightarrow rho(b)rightarrow D(b)\ D(ab)=D(a)D(b),D(a^{-1})=D(a)^{-1},D(e)=E

可約表示和完全可約表示

可約表示的目的是選取合適的基，使得矩陣的形式盡可能簡單。

【定義】V的一個子空間V'，如果： forall ainmathbb{G},rho(a)mathbb{V}'subsetmathbb{V}' 則稱此時的群表示為一個可約表示。

套用之前不變子空間裡的討論，我們立即知道可約表示空間總可以寫成不變子空間和相異空間的和。而當且僅當補空間為不變子空間時，為直和補。更普遍地寫為： mathbb{V}=sum_{i=1}^noplusmathbb{V}_i,mathbb{V}_i~is~invariant\ rho=sum_{i=1}^noplusrho_i,rho_i=rho|_{mathbb{V}_i}\ D(a)=sum_{i=1}^noplus D_i(a),D_i(a)=rho(a)|_{mathbb{V}_i} 如果上述分解完成，則稱為完全可約表示（既約表示） 。

酉表示

【定理5.1】有限群G的任意表示$rho$都可以看成是酉表示。

proof: def~<v_1,v_2>_{rho}=sum_{forall ainmathbb{G}}<rho(a)v_1,rho(a)v_2>\ because <rho(b)v_1,rho(b)v_2>_{rho}=sum_{forall ainmathbb{G}}<rho(a)rho(b)v_1,rho(a)rho(b)v_2>\ =sum_{forall ainmathbb{G}}<rho(ab)v_1,rho(ab)v_2>,binmathbb{G}\ =<v_1,v_2>_{rho} 這裡前提是求和是有限維度的。所以命題得證。

矩陣的張量積與張量積空間中的變換

張量積的定義為： Ain GL(n,mathbb{C}),Bin GL(m,mathbb{C})\ Aotimes B=pmatrix{a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1n}\ a_{21}&a_{22}&cdots&a_{2n}\ vdots&vdots&&vdots\ a_{n1}&a_{n2}&cdots&a_{nn}}otimes pmatrix{b_{11}&b_{12}&cdots&b_{1m}\ b_{21}&b_{22}&cdots&b_{2m}\ vdots&vdots&&vdots\ b_{m1}&b_{m2}&cdots&b_{mm}}\ =pmatrix{a_{11}B&a_{12}B&cdots&a_{1n}B\ a_{21}B&a_{22}B&cdots&a_{2n}B\ vdots&vdots&&vdots\ a_{n1}B&a_{n2}B&cdots&a_{nn}B} 張量積具有如下關系： (1)Aotimes(Botimes C)=(Aotimes B)otimes C\ (2)Aotimes(B+C)=Aotimes B+Aotimes C\ (3)(Aotimes B)^{-1}=A^{-1}otimes B^{-1}\ (4)tr(Aotimes B)=tr(A)cdot tr(B)\ (5)(A_1otimes B_1)(A_2otimes B_2)=(A_1A_2)otimes(B_1B_2) 張量積空間：兩個向量空間張量積定義為： v_i~is~the~basis~of~mathbb{V}_{ntimes n},u_i~is~the~basis~of~mathbb{U}_{mtimes m}\ then~the~basis~of~mathbb{V}timesmathbb{U}~is~v_iotimes u_i\ v_iotimes u_i={v_iu_j } 表示的張量積：同態映射 rho 在 {v_iotimes u_j } 中的表示矩陣為原矩陣的向量積。

群表示論中的一些重要定理

Schur引理

如果矩陣A與群G的一個n維既約酉矩陣表示D中的每一個矩陣均可對易。則A一定是一個單位矩陣的常數倍。

proof: because D(a)A=AD(a)therefore D(a^{-1})A=AD(a^{-1})\ therefore A^{dagger}D^{dagger}(a^{-1})=D^{dagger}(a^{-1})A^{dagger}because D^{dagger}(a^{-1})=D(a)\ therefore A^{dagger}D(a)=D(a)A^{dagger}\ def~H=A+A^{dagger},then~D(a)H=HD(a)\ because H~is~hermite,exists S,S^{dagger}=S^{-1},Lambda=S^{-1}HS 下證對角矩陣 Lambda 為單位陣的倍數（特征值完全簡並）： because D(a)H=HD(a)therefore S^{-1}D(a)HS=S^{-1}HD(a)S\ S^{-1}D(a)SLambda=Lambda S^{-1}D(a)S\ assume~Lambda=pmatrix{aE_n&\&bE_m},aneq binmathbb{K}\ S^{-1}D(a)S=pmatrix{A&B\C&D}\ S^{-1}D(a)SLambda=pmatrix{aA&bB\aC&bD},Lambda S^{-1}D(a)S=pmatrix{aA&aB\bC&bD}\ therefore B=0=C,coutradic~to~D~is~covenated(D=pmatrix{A&B\&D})\ therefore a=b\ the~same~,J=i(A+A^{dagger})=dE\ therefore A=eE

【大Schur引理】設 D^{(1)} 和 D^{(2)} 分別為G的 l_1 和 l_2 維的兩個不可約表示，若有 l_1times l_2 階矩陣M滿足以下關系： D^{(1)}(g)M=MD^{(2)}(g),forall ginmathbb{G}

則有：當 l_1=l_2 時， M=0 或 Mneq0,D^{(1)}cong D^{(2)}

當 l_1neq l_2 時， M=0

proof: Conjugate~the~equation\ M^{dagger}D^{(1)}(g^{-1})=D^{(2)}(g^{-1})M^{dagger}\ M^{dagger}D^{(1)}(g^{-1})M=D^{(2)}(g^{-1})M^{dagger}M,because D^{(1)}(g^{-1})M=MD^{(2)}(g^{-1}) \ therefore M^{dagger}MD^{(2)}(g^{-1})=D^{(2)}(g^{-1})M^{dagger}M 由小Schur引理，得到： M^{dagger}M=lambda E

分類討論：

l_1=l_2=n

lambdaneq0,det Mneq0,D^{(1)}(g)=MD^{(2)}(g)M^{-1} 則兩種表示等價。

lambda =0,M=0

l_1neq l_2 def~l_1< l_2,M'=pmatrix{M\0},M'^{dagger}M'=M^{dagger}M=lambda E\ because det M'=0therefore lambda=0therefore det M=0therefore M=0 這裡略有跳步。

波函數和群

群的正交性定理

【定理】設 D^{(alpha)} 和 D^{(beta)} 分別為G的 l_{alpha} 和 l_{beta} 維的兩個不可約表示，則有等式： sum_{ginmathbb{G}}D_{il}^{(alpha)}(g)D_{jm}^{(beta)^*}(g)=frac{N}{l_{alpha}}delta_{alphabeta}delta_{ij}delta_{lm}

proof: def~M=frac{1}{N}sum_{ginmathbb{G}}D^{(alpha)}(g)XD^{(beta)}(g^{-1})\ D^{(alpha)}(g_i)M=frac{1}{N}D^{(alpha)}(g_i)sum_{ginmathbb{G}}D^{(alpha)}(g)XD^{(beta)}(g^{-1})\ =frac{1}{N}sum_{ginmathbb{G}}D^{(alpha)}(g_ig)XD^{(beta)}(g^{-1})\ =frac{1}{N}sum_{ginmathbb{G}}D^{(alpha)}(g_ig)XD^{(beta)}((g_ig)^{-1}g_i)\ =frac{1}{N}sum_{ginmathbb{G}}D^{(alpha)}(g_ig)XD^{(beta)}((g_ig)^{-1})D^{(alpha)}(g_i),because g_iginmathbb{G}\ =MD^{(beta)}(g_i) 由Schur引理就可知： alphaneqbeta,M=0\ alpha =beta, M=lambda E 其餘對指數不證。

波函數和群的表示

我們首先建立量子力學和群表示的關系。離散情況為矩陣運算，連續情況求和過渡到積分。

設$l_i$維空間中有一組完備本征態 |{psi_n^{(i)}}rangle ，則算符 hat{B} 的矩陣表示為： hat{B}|{phi_j^{(i)}}rangle=sum^n|{psi_n^{(i)}}ranglelangle{psi_n^{(i)}}|hat{B}|{psi_j^{(i)}}rangle\=sum^nlangle{psi_n^{(i)}}|hat{B}|{psi_j^{(i)}}rangle|{psi_n^{(i)}}rangle=sum^nhat{B}^{(i)}_{nj}|{psi_n^{(i)}}rangle 因此，如果假定波函數組負載瞭群G的 l_i 維既約表述 rho^{(i)} 的酉矩陣表示 D^{(i)} ，則有： rho^{(i)}(a)psi_j^{(i)}=sum_nD_{nj}^{(i)}(a)psi_n^{(i)}

為瞭方便下面的定理的理解。所以假設有另一個 l_j 維空間，並具有另一組波函數來負載： rho^{(j)}(a)phi_k^{(j)}=sum_nD_{nk}^{(j)}(a)phi_n^{(j)}

波函數的正交定理

【定理】在上述符號下，我們有： int{psi_{alpha}^{(i)*}phi_{beta}^{(j)}dtau}=lambdadelta_{ij}delta_{alphabeta} proof: def~B_{alphabeta}=int{psi_{alpha}^{(i)*}phi_{beta}^{(j)}dtau}\ BD^{(j)}(a)_{alphazeta}=sum_{beta}B_{alphabeta}D^{(j)}(a)_{betazeta}\ =sum_{beta}int{psi_{alpha}^{(i)*}phi_{beta}^{(j)}dtau}D^{(j)}(a)_{betazeta}\ =int{psi_{alpha}^{(i)*}(sum_{beta}D^{(j)}(a)_{betazeta}phi_{beta}^{(j)})dtau}\ =int{psi_{alpha}^{(i)*}rho^{(j)}(a)phi_{zeta} ^{(j)}dtau}\ D^{(i)}(a)B_{alphazeta}=sum_{beta}D^{(i)}(a)_{alphabeta}B_{betazeta}=sum_{beta}D^{(i)}(a)_{alphabeta}int{psi_{beta}^{(i)*}phi_{zeta}^{(j)}dtau}\ =int{(sum_{beta}{D^{(i)}(a)}_{betaalpha}psi_{beta}^{(i)})^*phi_{zeta}^{(j)}dtau}\ =int{psi_{beta}^{(i)*}rho^{(i)}(a)phi_{zeta}^{(j)}dtau}\ because rho^{(i)}(a)=rho^{(j)}(a)\ therefore D^{(i)}(a)B=BD^{(j)}(a) 緊接著由群表示的正交定理即得。

有限群的表示的其他定理

• 群G的不等價既約表示個數等於群G中共軛類的個數m。這其實由上面正交定理可以看出，同一維數的空間下的表示一定互為共軛。共軛類等價於對更大空間的一個直和分解 rho=sum_ioplus a_irho^{i}
• 設n是群G的階， l_i 是上述共軛類i的空間維數。有等式： n=sum_il_i^2

特征標

考察跡運算 tr（AB）=sum_{k=1}^{n}{sum_{i=1}^{n}x_{ki}y_{ik}}=sum_{i=1}^{n}sum_{k=1}^{n}{y_{ik}}{x_{ki}}=tr(BA)

這說明跡運算內的矩陣乘法是可交換的。我們立即得到跡的相似（共軛）不變性： tr（P^{-1}AP）=tr(APP^{-1}) =tr(A)

我們立即想到可以用這個對共軛的不變量來表征共軛類，以及更重要的既約表示。

【定義】群表示的跡定義為： chi(a_i)=tr D(a_i),a_iinmathbb{G} 稱之為群表示的特征標。如果是可約表示，稱特征標是復合的。如果是既約表示，稱之為單純的。

單純特征標的正交定理

n階群G中，有： frac1nsum_{ginmathbb{G}}chi^{(i)}(g)bar{chi}^{(j)}(g)=delta_{ij} proof: sum_{ginmathbb{G}}D_{il}^{(alpha)}(g)D_{jm}^{(beta)^*}(g)=frac{n}{l_{alpha}}delta_{alphabeta}delta_{ij}delta_{lm}\ sum_{ginmathbb{G}}D_{ii}^{(alpha)}(g)D_{jj}^{(beta)^*}(g)=frac{n}{l_{alpha}}delta_{alphabeta}delta_{ij}^2\ sum_{i}sum_{ginmathbb{G}}D_{ii}^{(alpha)}(g)D_{jj}^{(beta)^*}(g)=sum_{i}frac{n}{l_{alpha}}delta_{alphabeta}delta_{ij}^2\ sum_{ginmathbb{G}}chi^{(alpha)}(g)D_{jj}^{(beta)^*}(g)=sum_{i}frac{n}{l_{alpha}}delta_{alphabeta}delta_{ij}^2\ sum_{ginmathbb{G}}chi^{(alpha)}(g)barchi^{(beta)}(g)=sum_{i,j}frac{n}{l_{alpha}}delta_{alphabeta}delta_{ij}^2=ndelta_{alphabeta}\ 有瞭正交定理，我們就可以斷言，區別既約表述的方法就是看特征標的區別。並且可以做出在5.3節的第一個分解，其中系數： a_i=frac1nsum_{ainmathbb{G}}chi(a)barchi^{(i)}(a)

既約判據

如果一個表示是既約的，則其特征標具有性質：

sum_{ainmathbb{G}}barchi(a)chi(a)=n

這是因為： sum_{ainmathbb{G}}barchi(a)chi(a)=nsum_ia_i^2 而如果為既約表示，則必定存在一個數j使得 a_i=delta_{ij} 。

群的直積表示

由直積的定義快速得出 chi_{1otimes2}=tr rho_1otimesrho_2=tr D_1otimes D_2=sum_iD_{1_{ii}}sum_jD_{2_{jj}}=chi_1chi_2 類似之前的，可以證明原群表示的既約表示集的直積就是直積表示的完備正交基。因此直積表示的相等和正交都由正交基決定。

正則表示

【定義】（左）正則表示定義為： sigma:grightarrowsigma(g),st\ sigma(g)sum_ia_ig_i=sum_ia_igg_i 由於 gg_iinmathbb{G} 所以這個運算對群空間是封閉的。定義自然的加法和矩陣類的次序乘法後，這個表示就構成瞭群到群空間上的一個映射，稱為（左）正則表示。

考察其矩陣形式： sigma(g)g_k=gg_k=sum_jD_{jk}(g)g_j\ D_{jk}(g)=left{ begin{aligned} 1~~~g=g_jg_k^{-1}\ 0~~~gneq g_jg_k^{-1} end{aligned} right. 其特征標具有性質： chi(g)=tr D(g)=sumdelta_{g,e}=left{ begin{aligned} n~~~g=e\ 0~~~gneq e end{aligned} right. 共軛直和分解系數因此非常簡單： a_i=frac1nsum_{ainmathbb{G}}chi(a)barchi^{(i)}(a)=frac1nsum_{ainmathbb{G}}chi(e)barchi^{(i)}(e)=l_i 對5.3節中第二個定理的非常不嚴謹證明： sigma=sum_ioplus a_isigma_i,chi=sum_ia_ichi_i=sum_il_i^2=n

這次文章長度幾乎趕到之前文章的兩倍瞭，量子力學與群論單開一章。