中考數學考點直擊:二次函數

合肥推拿 2024-04-22 21:00 1次浏览 0 条评论 taohigo.com

二次函數是中考數學每年必考的考點,特別是跟幾何結合,經常在壓軸題中出現。今天老劉整理瞭初中數學二次函數知識點,同學們收藏起來,可以作為預習和復習使用。

二次函數的定義

一般地,如果y=ax^2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0),那麼y叫做x的二次函數.特別地,當a≠0,b=c=0時,y=ax^2是二次函數的特殊形式。

二次函數的三種表達式

(1)一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0);

(2)頂點式:y=a(x-h)^2+k(a≠0),由頂點式可以直接寫出二次函數的頂點坐標是(h,k);

(3)交點式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是圖象與x軸交點的橫坐標。

二次函數的圖像和性質

二次函數圖像的平移

任意拋物線 y=a(x-h)^2+k 可以由拋物線y=ax^2 經過平移得到,具體平移方法如下:

二次函數表達式的求法

1.一般式:y=ax2+bx+c (a≠ 0)

若已知條件是圖象上三個點的坐標,則設一般式 y=ax^2+bx+c(a≠0),將已知條件代入,求出a,b,c的值。

2.頂點式:y=a(x-h)^2+k(a≠0)

若已知二次函數的頂點坐標或對稱軸方程與最大值或最小值,則設頂點式 y=a(x-h)^2+k(a≠0),將已知條件代入,求出待定系數的值,最後將解析式化為一般式。

3.交點式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

若已知二次函數圖象與x軸的兩個交點的坐標,則設交點式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),將第三點的坐標或其他已知條件代入,求出待定系數a的值,最後將解析式化為一般式。

二次函數與一元一次方程

二次函數 y=ax^2+bx+ c的圖象和x軸交點有三種情況:

有兩個交點,有一個交點,沒有交點;

當二次函數y=ax^2+bx+c的圖象和x軸有交點時,交點的橫坐標就是當y=0時自變量x的值,

即一元二次方程ax2+bx+c=0的根。

二次函數知識很容易與其它知識綜合應用,而形成較為復雜的綜合題目,因此,以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題,往往以大題形式出現。

考點梳理

1.二次函數圖像與系數的關系

例題

解題反思

本題考查瞭二次函數圖象與系數的關系。二次函數系數符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數確定。

2.二次函數與一元一次方程的關系

例題

解題反思

本題考查瞭二次函數與一元二次方程的關系,考查瞭數形結合的數學思想.解題時,畫出函數草圖,由函數圖象直觀形象地得出結論,避免瞭繁瑣復雜的計算。

3.二次函數性質

例題

解題反思

本題考查瞭二次函數性質、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知識,總體來說題意復雜但解答內容都很基礎,是一道值得練習的題目。

4.二次函數與圖像系數的關系

例題

思路點撥

本題考查瞭二次函數圖象與系數的關系:二次函數y=ax2+bx+c(a≠0),二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小,當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口;一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置,當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左; 當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右;常數項c決定拋物線與y軸交點. 拋物線與y軸交於(0,c);拋物線與x軸交點個數由△決定,△=b2﹣4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點;△=b2﹣4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點;△=b2﹣4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。