導彈飛行力學建模速覽

攀鲈鱼 2024-04-26 23:48 1次浏览 0 条评论 taohigo.com

最近項目需要對無動力空投物體建立微分方程模型,參考導彈飛行力學實現。一些基礎知識記錄如下。

1. 常用坐標系

1.1 地面坐標系 Axyz

發射點(或發射時導彈質心)為原點 AAx 為水平面指向目標的方向; Ay 在包含 Ax 的鉛垂面內,垂直向上; Az 通過右手法則確定。

地面坐標系是與地球表面固連的坐標系。在導彈射出後,也可將坐標系原點平移至導彈質心得到坐標系 Oxyz ,便於進行坐標變換。

1.2 彈體坐標系 Ox_{1}y_{1}z_{1}

彈體質心 O 為原點; Ox_1 為彈體縱軸,指向彈頭為正; Oy_1 在彈體縱向對稱面內(縱向對稱面:沿導彈長軸的對稱面),與 Ox_1 垂直,向上為正; Oz_1 通過右手法則確定。

1.3 彈道坐標系 Ox_{2}y_{2}z_{2}

彈體質心 O 為原點; Ox_2 與彈體質心的速度矢量 V 重合; Oy_2 在包含速度矢量的鉛垂面內(鉛垂面:與地面完全垂直的面),且垂直於 Ox_2 ,向上為正; Oz_2 通過右手法則確定。

1.4 速度坐標系 Ox_{3}y_{3}z_{3}

彈體質心 O 為原點; Ox_3 與彈體質心的速度矢量 V 重合; Oy_3 在彈體縱向對稱面內且垂直於 Ox_3 ,向上為正; Oz_3 通過右手法則確定。

四個坐標系列表對比如下。

地面坐標系Axyz(Oxyz) 彈體坐標系Ox1y1z1 彈道坐標系Ox2y2z2 速度坐標系Ox3y3z3
X軸 從發射點到目標點的方向 彈體縱軸,指向彈頭為正 彈體質心的速度矢量方向 彈體質心的速度矢量方向
Y軸 Ax所在鉛垂面內豎直向上 彈體縱向對稱面內,與X軸垂直 chOx2所在鉛垂面內且與其垂直 彈體縱向對稱面內且垂直於Ox3
Z軸 符合右手法則 符合右手法則 符合右手法則 符合右手法則

2. 各坐標系角度關系

四個坐標系之間的角度關系

上面四個坐標系之間存在一些比較曲折的角度關系,下面一一分解。

  • 速度傾斜角 gamma_V :位於縱向對稱平面內的 Oy_3 軸與包含速度矢量的鉛垂面 Ox_{2}y_{2} 之間的夾角。從彈尾部向前看,若縱向對稱面向右傾斜,則速度傾斜角為正;反之為負。

速度傾斜角示意圖

  • 攻角(迎角、沖角) alpha :速度矢量在彈體縱向對稱面 Ox_{1}y_{1} 內的投影與 Ox_{1} 之間的夾角。若 Ox_1 軸位於速度矢量投影線的上方(即產生正向升力)時,攻角為正;反之為負。
  • 側滑角 beta :速度矢量與彈體縱向對稱面之間的夾角。沿飛行方向觀察,若來流從右側流向彈體(即產生負側向力,後面會提到側向力的方向),側滑角為正;反之為負。

攻角和側滑角示意圖

  • 彈道傾角 theta :導彈速度矢量與水平面之間的夾角。速度矢量指向水平面上方,彈道傾角為正;反之為負。
  • 彈道偏角 psi_{V} :速度矢量在水平面的投影與地面系 Ox 軸之間的夾角。自上而下俯視,若由 Ax 軸轉至該投影方向是逆時針旋轉,則彈道偏角為正;反之為負。

彈道傾角和彈道偏角示意圖

  • 俯仰角 vartheta :導彈縱軸( Ox_1 軸)與水平面之間的夾角。導彈縱軸指向水平面上方,俯仰角為正;反之為負。
  • 偏航角 psi :導彈縱軸在水平面內投影與地面系 Ax 軸之間的夾角。自上而下俯視,若由 Ax 軸轉至該投影方向是逆時針旋轉,則偏航角為正;反之為負。
  • 滾轉角(傾斜角、滾動角) gamma :彈體系 Oy_1 軸與包含導彈縱軸的鉛垂平面之間的夾角。由彈體尾部順導彈縱軸前視,若 Oy_1 軸位於上述鉛垂面的右側(即彈體向右傾斜),則滾轉角為正;反之為負。

俯仰角、偏航角和滾轉角示意圖

3. 作用在導彈上的力和力矩

3.1 作用力

沿著速度坐標系,總的空氣動力可以分解為阻力 X 、升力 Y 和側向力 Z 三個分量。習慣上,把阻力 X 的正向定義為 Ox_3 (即速度 V 的方向)的負向,而升力 Y 和側向力 Z 的正向分別與 Oy_3 軸、 Oz_3 軸的方向一致。

實驗表明,作用在導彈上的空氣動力與來流的動壓以及導彈的特征面積成正比,可表示為:

X=c_{x}qS\ Y = c_{y}qS\ Z=c_{z}qS\

其中 q 為動壓頭: q=frac{1}{2}rho V^2S 為特征面積,翼式導彈的特征面積一般采用彈翼面積,無翼式導彈的特征面積一般采用彈身最大橫截面。

阻力系數 c_x 、升力系數 c_y 和側向力系數 c_z 是無量綱的比例系數(無因次空氣動力系數)。

3.2 作用力矩

作用在彈體上的空氣動力矩沿彈體坐標系分解為三個分量:滾轉力矩 M_x 、偏航力矩 M_y 和俯仰力矩 M_z

註意,插圖中三個力矩的方向為負方向,正方向依然是符合右手定則的,感謝知友 @左槍手 指正

上圖中,delta_xdelta_ydelta_z 分別是翼式導彈各個舵和翼的偏轉角,起到調節方向的作用。

M_x=m_{x}qSL\ M_y=m_{y}qSL\ M_z=m_{z}qSL\

L 為特征長度,對於無翼式導彈即為彈身長度。

滾動力矩系數 m_x 、偏航力矩系數 m_y 和俯仰力矩系數 m_z 是無量綱比例常數(無因次的空氣動力矩系數),與多個變量的取值均相關(馬赫數、飛行高度、攻角及其變化率、側滑角及其變化率、彈體繞軸自轉角速度、舵和翼的偏轉角等),比較復雜,有一些具體的研究討論就不深入瞭。

個人理解:
無量綱的空氣動力系數和空氣動力矩系數都隻是沒有單位的數值。對於一個特定外形的飛行器而言,特征面積和
特征長度的選取具有一定的任意性,可以由人為指定,指定好之後再去研究這些系數隨其它條件的變化關系。