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開普勒三定律與萬有引力互推

Ⅰ開普勒三定律與萬有引力互推


1.1由開普勒三定律導出萬有引力公式

我們現在當然知道瞭,萬有引力公式表述的該力是具有平方反比性質的、與兩物體質量成正比的有心力,其中有心力這一結論其實具有很大的作用,因此我們先來證明萬有引力是有心力。

證明萬有引力是有心力,主要應用開普勒第二定律,證明過程中偶爾需要用到第一定律。事實上,開普勒第二定律的實質是角動量守恒,我們首先需要證明這一結論,然後利用角動量守恒的關系推出萬有引力是有心力來。

開普勒第二定律:單位時間內掃過的面積相等(寫成微商形式:frac{dS}{dt}=常量

在極坐標中,倘若選擇太陽中心為坐標原點,則對於任意一種運動,都有以下微分關系:

dS=(frac{r^2}{2}) dθ

由於很多人對這一恒成立的關系式不太瞭解,因此我們先證明它,如果沒有問題請跳過下面斜體證明部分。


證明:

為瞭證明這個關系式,我想從大傢微積分學習過程中,最先接觸到定積分概念時的思路出發,繼而推出微分關系式:

我們說定積分最初是源於這樣一個過程:

分割-近似-求和-取極限

①分割:將橢圓平均分割成n個小區域,每個小區域對應的角度為 θi(i=1,2,3….n)

②近似:每一個部分,其面積S可由半徑為 ri 的扇形面積近似,即:

Siapprox r^2/2 Δθi

③求和:橢圓總面積可近似為:

求和

④取極限:當所選取的區域數量趨於無窮大時,則橢圓總面積與這些"近似面積"之和是嚴格相等的

取極限

從而我們定義後者的這個極限式為:

積分式滿足這個關系,則微分關系滿足: dS=(frac{r^2}{2}) dθ ,證畢


由第二定律,我們可以將其寫成數學形式 dS/dt=常量 ,我們將恒成立的關系式 dS=(frac{r^2}{2}) dθ 代入到前者中,則會得到 frac{r^2}{2}frac{dθ}{dt}=常量

我們默認大傢已經接觸瞭角動量的概念,角動量 vec{J}=mvec{r}timesvec{v}

根據開普勒第一定律可以知道,地球繞太陽的軌道是橢圓,以太陽為角動量的參考點,地球是定軸轉動的(太陽中心在這條旋轉軸上),對於定軸轉動的物體,角動量在旋轉軸方向上的分量為: Jz=mr^2ω=mr^2frac{dθ}{dt} ,這一關系始終成立,這裡不再額外證明。同時,由於開普勒第一定律,我們可以得到地球的角動量 vec{J}=(Jz)vec{ez} ,其中 vec{ez} 是旋轉軸向的單位矢量,因此我們可以用 J 來代替 Jz ,即 J=mr^2ω=mr^2frac{dθ}{dt}

根據這一關系,我們發現, frac{r^2}{2}frac{dθ}{dt} 還可以寫成 frac{J}{2m} ,則有 frac{J}{2m}=常量 ,由於2m是常量,則地球的總角動量 J 也一定是常量,且方向始終為軸向,因此我們僅僅有第一定律和第二定律就得到瞭以下結論:

地球繞太陽轉動,整個過程是角動量守恒的。

值得特別註意的一點是,我們在研究地球繞太陽公轉的過程中,所使用的物理公式和數學模型都是質點模型,即我們不僅忽略瞭地球的自轉,而且還忽略瞭地球和太陽的形狀,認為地球和太陽的質量集中在它們的幾何中心上。仔細想來,其實這麼簡化並不嚴謹,當然我們可以想象,如果不作如此簡化的話,研究過程會復雜許多。不過,我們在後面會推導出高斯定律來,高斯定律的結論會告訴我們,這樣的假設是恰當的。具體高斯定律的內容會在往後闡釋,這裡我們僅僅把這個看似不太嚴謹的簡化問題說明出來。

回到角動量守恒的結論中來,經典力學告訴我們,如果運動過程中,質點的角動量保持不變(即守恒),那麼一定有 vec{M}equiv0 ,即在該過程中,對於同一參考點,其外力矩始終為0。對於外力矩始終為0,隻有兩種可能性:

根據外力矩的定義 vec{M}=vec{r}timesvec{F} ,第一種可能是外力始終大小為0,這當然是不可能的。因為如果外力始終為0,地球不可能會以橢圓運動,這不符合開普勒第一定律的實驗結論;第二種可能就是,任意時刻,外力的方向始終與質點的位置矢量共線,兩個共線矢量的向量積為0,用數學語言描述,即 vec{F}=F(r)vec{r} ,這在物理中稱作"有心力"。因此,根據角動量守恒這一事實,結合以上分析,我們隻能承認“萬有引力一定是有心力”。

至此,我們成功證明瞭萬有引力的方向,即始終與位置矢量共線這一關系。在證明瞭這一關系之後,就來到瞭重頭戲,即證明萬有引力遵從著平方反比規律。在徹底證明之前,我們先要證明一個特別的公式,這個公式將會輔助我們推導出最終的平方反比公式來。這一公式稱作“比耐公式”。

比耐公式內容如下:

-F/m=h^2u^2(frac{d^2u}{dθ^2}+u) 其中 h=frac{J}{m},u=frac{1}{r}

證明該公式僅需要角動量守恒這一結論,換言之,根據開普勒第二定律可以直接導出比耐公式

證明如下


①由運動學中極坐標的加速度表示方法,徑向加速度即

由於萬有引力方向是徑向,我們無需再考慮軸向加速度的表達形式。

由牛頓第二定律 F_{萬}=ma_{r } ,從而得到

②由開普勒第一定律,有

我們定義 h=J/m ,則上式改寫成:

frac{d^2r}{dt^2}=frac{d(frac{dr}{dt})}{dt}=frac{d(frac{dr}{dθ}·frac{dθ}{dt})}{dt} ,代入 frac{h}{r^2}=frac{dθ}{dt}

原式= frac{d(frac{h}{r^2}frac{dr}{dθ})}{dt} ,定義 u=frac{1}{r}原式=frac{d(-frac{1}{u^2}frac{du}{dθ}hu^2)}{dt}

frac{d(-frac{1}{u^2}(frac{du}{dθ})hu^2)}{dt}=frac{d(-frac{du}{dθ}h)}{dt}

=-hfrac{d(frac{du}{dθ})}{dt}=-hfrac{dθ}{dt}frac{d(frac{du}{dθ})}{dθ}= -h^2u^2frac{d(frac{du}{dθ})}{dθ}=-h^2u^2frac{d^2θ}{dθ^2}

我們將公式②中的 frac{dθ}{dt} 和公式③中的 frac{d^2r}{dt^2} 分別代入到公式①中,則可以得到比耐公式:

-F/m=h^2u^2(frac{d^2u}{dθ^2}+u)

由證明過程可知,對於任何符合開普勒第二定律形式的運動,比耐公式都成立


證明瞭比耐公式後,下面可以開始證明萬有引力大小表達式瞭,先看一下我們目前具有哪些公式:

(1)開普勒第一定律: 地球繞太陽的軌道為橢圓,將其運動學方程寫成極坐標形式

r=frac{P}{1+e cosθ} ,或者 u=frac{1}{r}=frac{1}{P}+frac{ecosθ}{P} ,其中 P=frac{b^2}{a} , e=frac{c}{a}

(2)開普勒第二定律:地球繞太陽運動的角動量守恒

frac{dS}{dt}=frac{h}{2}=常量 ,其中 h=frac{J}{m}

(3)開普勒第三定律:繞以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星,其各自橢圓軌道半長軸的立方與周期的平方之比是一個常量,這個常量僅僅與中心天體有關

frac{a^3}{T^2}=常量varepsilon

(4)比耐公式: -F/m=h^2u^2(frac{d^2u}{dθ^2}+u)

下面開始推導萬有引力定律


由開普勒第一定律所得到的橢圓軌道方程,可求出 frac{d^2u}{dθ^2}=-frac{ecosθ}{P} ,代入到比耐方程中

F=-mh^2u^2(frac{d^2u}{dθ^2}+u)=-mh^2u^2(-frac{ecosθ}{P}+frac{1}{P}+frac{ecosθ}{P})=-frac{mh^2u^2}{P}

F= -frac{m}{r^2}·(frac{h^2}{P}) ,對於同一個中心天體,h和P都為常量,記 k=frac{h^2}{P} ,則有

F=-frac{km}{r^2} ,繼而我們證明出瞭萬有引力是遵從平方反比的

下面我們要證明萬有引力還與中心天體質量M成正比

由開普勒第二定律,有 frac{dS}{dt}=frac{h}{2}=常量 ,當地球環繞太陽一周時,掃過的面積為橢圓面積 pi ab ,對應周期為 T ,則此時 frac{ΔS}{Δt}=frac{pi ab}{T}=frac{dS}{dt} ,從而得到 T=frac{2pi ab}{h}

我們將這個周期T的公式代入到開普勒第三定律,則 frac{a^3}{T^2}=frac{ah^2}{4pi b^2}=frac{1}{4pi}·(frac{ h^2}{P})=常量varepsilon ,由於 4pi 是常數,而常量 varepsilon 與中心天體有關,則意味著 frac{ h^2}{P} 也與中心天體有關

此前我們提到過瞭,我們在之前使用的模型都是質點模型,因此我們不考慮中心天體的形狀與自轉,從而我們可以合理的猜測,既然是與中心天體有關,那麼應該是和中心天體的質量M有關。

前面我們已經導出瞭 F=-frac{m}{r^2}·(frac{h^2}{P}) ,既然 frac{ h^2}{P} 與M有關,則萬有引力F也應該與M有關


我們上面已經證明瞭萬有引力與半徑成反比,但是還有一個重要的問題沒有推導出來,接下來我們要討論的就是,F與中心天體質量M之間應該遵從什麼樣的關系?

牛頓曾經猜想,地球給予月球的力與地球給予地面上物體的力是否是同一種力?在之前的所有推導過程中,我們都僅僅探究的是天體之間的引力,但是牛頓所猜想的這種力不應僅僅存在於兩個天體之間,應該存在於任何事物之間。它通過著名的月-地檢驗已經證明瞭,月球和地面上的石塊受到的引力確實是同一種力,由於中心天體都是地球,所以在檢驗過程中無需考慮M對F大小的影響。

人們最初就發現,在同一地點測量,地球給予地面上物體的加速度基本是不變的,即重力加速度g,根據牛頓第二定律,可以知道地球給地面上物體的作用力勢必與物體的質量m成正比(可以自己嘗試推導一下這個結論)。經過瞭月-地檢驗,既然我們已經發現瞭地球給月亮的力和地面物體的力屬於同一種力,就自然而然的也猜想,地球給月亮的力也應該是和月亮質量m成正比的。當然,之前我們已經推導得到瞭這個結論,驗證瞭這個猜想。

進一步的想,既然地球會給月球環繞的效果,太陽也給予著地球環繞的效果,那麼太陽給地球的力與地球給月球的力是否也是同一種呢?我們完全有理由進行這種猜想。再進一步,任意的兩個星體A和B之間,是否都會彼此有這種力的作用呢?這種猜測是符合邏輯的,而且還會得到一個結論:如果任意兩個星體之間彼此真的會有這種引力作用,那麼根據之前的對地面物體的引力探索,就有"A給B的力與B的質量成正比,B給A的力與A的質量成正比"的結論瞭。

寫成數學形式,即: F∝m 同時F∝M ,再根據開普勒第三定律的結論(常量與中心天體質量有關),則自然而然的通過該大膽的猜想引力應該是和中心天體質量M成正比的,因此我們就得到瞭:

F=-frac{GMm}{r^2}

矢量形式則為: vec{F}=-frac{GMm}{r^3}vec{r}

力與m成正比的結論,最開始僅僅是地面物體加速度為定值的這一實驗結論,牛頓又通過月地檢驗,完美的證明瞭他的大膽猜測,於是他擴大瞭猜測范圍,認為兩個天體之間應該具有平權的地位。從而他將天體對其他物質的力正比於M和m這一結論記錄瞭下來。而後百餘年間,人們通過各種各樣的實驗與數據觀測,成功驗證瞭這個正比關系的正確性。

當牛頓寫出他的引力公式之後,作出瞭他最為偉大的猜想:他認為這種引力不僅僅會存在於天體對其他物質之間的作用,宇宙間的萬事萬物彼此之間都應該有這種作用。

這種猜測具有極強的洞察力,至此,這種最初“來自天體”的引力才真正的稱作瞭“萬有引力”,而無數的實驗又一次次證明瞭,他對於”萬有“的猜測是正確的。

至此,我們由三個實驗定律成功推導出瞭萬有引力定律,接下來,我們會根據萬有引力定律,反推導出一些有用的結論,其中之一便是對於開普勒第一定律的擴展。


1.2 由萬有引力公式驗證開普勒三定律

在數學中,有"充分和必要”條件的說法,我們可以由開普勒三定律推導出萬有引力定律,但是反過來,假設一個質點隻受到萬有引力,那麼它的運動一定僅限於開普勒三定律所描述的嗎?

先給出結論,假設質點具有初速度Vo,而後在萬有引力的作用下運動,則其運動一定符合開普勒第二定律和開普勒第三定律(當然前提是周期運動),但是不一定符合開普勒第一定律(即其軌跡不一定是橢圓)

先證明其運動一定符合開普勒第二定律:


由於萬有引力是有心力,則一定有 vec{r}timesvec{F}=vec{M}equiv0

由質點的角動量定理 vec{M}=frac{dvec{J}}{dt} 可知,質點的運動過程中角動量守恒。則物體做任何運動時,都有

J=mr^2ω=mr^2frac{dθ}{dt}=常量

極坐標內,對於任何運動都滿足以下關系 dS=(frac{r^2}{2}) dθ ,兩邊同時對t求導,得

frac{dS}{dt}=(frac{r^2}{2}) frac{dθ}{dt}=frac{J}{m}=常量

從而開普勒第二定律成立

接下來先不去證明開普勒第三定律,而先證明始終隻受到萬有引力作用的物體的軌道不一定是橢圓:

首先我們先引入一個物理量,稱作隆格-楞次矢量,定義式為:

vec{B}=vec{v}timesvec{J}-GMmvec{r}/r

可以證明,在平方反比的有心力作用下,該矢量守恒,證明如下

frac{dvec{B}}{dt}=frac{d(vec{v}timesvec{J}-GMmvec{r}/r)}{dt}=frac{d(vec{v}times vec{J})}{dt}-frac{d(GMmvec{r}/r)}{dt}

其中 frac{d(vec{v}times vec{J})}{dt}=frac{d(vec{v})}{dt}times vec{J}+vec{v}timesfrac{d(vec{J})}{dt} ,由於有心力下角動量守恒,則 vec{v}timesfrac{d(vec{J})}{dt}=0

frac{d(vec{v}times vec{J})}{dt}=frac{d(vec{v})}{dt}times vec{J}=mfrac{d(vec{v})}{dt}times(vec{r}timesvec{v}) ,代入 vec{F}=frac{GMm}{r^3}vec{r}=mfrac{dvec{v}}{dt}

得到原式 =frac{GMm}{r^3}vec{r}times(vec{r}timesvec{v})

利用矢量恒等式 vec{A}times(vec{B}timesvec{C})equiv(vec{A}·vec{C})·vec{B}-(vec{A}·vec{B})·vec{C}

即我們得到瞭: frac{d(vec{v}times vec{J})}{dt}= GMmfrac{d(frac{vec{r}}{r})}{dt} ,代入到 frac{dvec{B}}{dt}=frac{d(vec{v}times vec{J})}{dt}-frac{d(GMmvec{r}/r)}{dt} 中,

frac{dvec{B}}{dt}=0 ,即證明隆格-楞次矢量在平方反比力場中是守恒量

在整個過程中的任意時刻,都有以下兩個關系式:

(1) vec{r}·vec{B}=rBcosθ

(2) vec{r}·vec{B}=vec{r}·(vec{v}timesvec{J}-GMmvec{r}/r)=vec{J}·(vec{r}timesvec{v})-GMmr=frac{J^2}{m}-GMmr

聯立兩式,得到:

r=frac{(frac{J^2}{GMm^2})}{1+(frac{B}{GMm})cosθ}

對比圓錐曲線公式 r=frac{P}{1+ecosθ} , 則 e=(frac{B}{GMm}) P=(frac{J^2}{GMm^2})

e=0 時,軌跡為圓;當 0<e<1 時,軌跡為橢圓;

e=1 時,軌跡為拋物線;當 e>1 時,軌跡為雙曲線

當質點的初速度或初角動量變化,或者在運動期間通過其他方式(如火箭噴氣)改變其角動量或速度時,隆格-楞次矢量的大小也會變化,從而會讓軌道的e和P發生變化。這樣的話,就存在臨界角動量/速度,使得軌跡變成其他形狀。因此,開我們隻能說,開普勒第一定律之所以成立,是因為地球繞太陽的角動量和速度是在橢圓軌道的e范圍內(即 0<e<1 ),從而也證明,遵從萬有引力定律的運動不一定隻有橢圓,這一系列圓錐曲線都有可能。

同時我們發現,當 egeq1 時,質點的軌跡就不再具有周期性瞭,從而也就沒有周期T之說法,從而開普勒第三定律不再成立。但是隻要軌跡是橢圓和圓形,開普勒第三定律一定成立。


至此,開普勒第三定律推導萬有引力定律,以及二者的充要關系已經完成,下面我們利用萬有引力公式,來導出一些有趣的結論來

Ⅱ.萬有引力的有趣結論

2.1 重力與拋物線

在高中物理中,我們就學過一個很重要的結論:地球上的重力實際上是萬有引力的分力,另一個分力提供的是地球自轉的向心力,即: vec{F_{萬}}=vec{G}+vec{F_{向}} (在慣性系上看),如果我們選擇地球本身這個以某個角速度自轉的非慣性系,那麼重力就是萬有引力與慣性離心力的合力,即 vec{G}=vec{{F_{萬}}}+vec{F_{離}} ,我們之所以要考慮選擇地球這個非慣性系來觀察重力,是因為我們平時所觀察到的一切現象都是在地球上的,我們已經習慣瞭選用地球作為參考系,因此在地球上稱量體重時,{視重}測量的其實就是"重力",這個由萬有引力和慣性離心力組成的合力,而非”萬有引力"。

萬有引力沿兩方向分量作用的效果是重力和向心力


值得補充的一點是,初學者對重力的理解往往有所偏差,我們在一個研究體系時若考慮“重力”而不考慮“萬有引力”,那麼這個體系不能太大,也就是說,我們近似的認為瞭這個體系中的每一個部分所受到力的方向都是一樣(即豎直向下),所以說,在這樣的研究體系下,重力並非是一個有心力,而是一個方向恒定的力。(嚴謹的說,重力就是一個恒方向力,倘若我們研究的是北京和紐約上的兩個物體組成的體系,那麼在受力分析時,考慮重力就不妥當瞭,我們就必須認為是引力作用,而非重力作用瞭)。重力之所以能建立起勢能的概念,就是源於重力是恒方向這一結論。

以下是嚴格的數學證明


在數學中,有這樣一個結論: int_{L}^{}Pdx+Qdy與路徑無關Leftrightarrow partial P/partial yequiv partial Q/partial x

其中 int_{L}^{}Pdx+Qdy是一個對坐標的曲線積分,對於重力 vec{G}=Gvec{i},vec{i}是始終豎直向下的單位向量

由做功定義, W=int_{L}vec{F} dvec{r} ,重力做功則為: W_{G}=int_{L}vec{G} dvec{r}=int_{L}Gdx+0dy ,由於 partial G/partial y=0 , partial0 /partial x=0 ,則 partial{G}/partial{ y}equiv partial 0/partial x

因此

int_{L}Gdx+0dy 的值與選取的路徑L無關,因而對於空間任意兩點 (x,y,z)與(x',y',z') ,其重力做功的路徑都可以任意選擇,由此存在著一個物理量 U(x,y,z) ,隻要選定瞭物理量為0的基準點,其大小就隻與空間位置有關,從而可以引入"重力勢能"這個概念。

U_{G}(x,y,z)=int_{L}vec{G} dvec{r}=int_{L_{豎直}}vec{G} dvec{r}+int_{L_{水平}}vec{G} dvec{r}=int_{L_{豎直}}Gsin0°dr+int_{L_{水平}}Gsin90°dr=-GΔh+Uo(x,y,z)

其中Δh代表的是 兩點vec{i} 方向分量之差,即"高度差", Uo(x,y,z) 是初始位置選定的重力勢能大小,實際我們隻考慮重力勢能的差值,即 ΔU= U_{G}(x,y,z)-Uo(x,y,z) ,選定某個位置為重力勢能零點後,就可以根據-GΔh來計算出初始位置到代求位置的重力勢能差。


接下來我們再真正的對高中的知識進行一個拓展,大傢或許會有些疑問,既然根據萬有引力證明任何物體的軌道是圓錐曲線,那麼為何平拋運動的軌跡是拋物線?(註意,平拋運動中的拋物線與圓錐曲線中的拋物線並不是一個東西)。或者說、為何平拋出的物體不會以橢圓軌道繞著地球運動?

我們先忽略地球自轉。事實上,如果地球表面是“虛空的”,即如果平拋出的物體不會碰到地面而停止運動,而是會“穿透過地面”繼續運動,那麼這個物體就會以地心為一個焦點,繞著地球做橢圓運動,然後回到原來的位置。也就是說,平拋的物體實際並不違背開普勒第一定律,之所以我們隻能看到拋物線,這是因為地球的地表是“實心”的,物體繞地心的橢圓軌道途徑瞭地表,被強行阻攔瞭下來。

那麼平拋的拋物線是如何來的呢?推導中我們使用的是“在物體運動過程中始終收到恒定方向重力作用”這一條件,而重力僅僅是物體運動小軌跡中的一個近似,因此從數學角度而言,拋物線軌道僅僅是整個橢圓軌道在一個小位移下的近似。換一個視角來看,其實就是我們把受力方向隨著物體位移而變化的萬有引力,用方向恒定的重力而進行近似。所以說,我們以不大的初速度平拋一個物體,得到拋物線的軌跡與飛行器繞地球的運動為圓錐曲線並不沖突。


2.2 高斯定理

還記得在一開始我們提出的問題嗎?我們在研究地球繞太陽公轉的過程中,所使用的物理公式和數學模型都是質點模型,即我們不僅忽略瞭地球的自轉,而且還忽略瞭地球和太陽的形狀,認為地球和太陽的質量集中在它們的幾何中心上。仔細想來,其實這麼簡化並不嚴謹。

事實上,在牛頓提出萬有引力之時,事先尚未證明這種簡化的嚴格性,因此他總覺得萬有引力定律的證明過程有些許缺憾,這種簡化是否合理?

倘若這種簡化會使得計算結果完全不同,那麼我們推導出的結論就不再具有意義瞭。所以說,我們先要用數學嚴格證明一下這個簡化的合理性。17世紀,偉大的牛頓也在思考著,直到後來牛頓使用自己發明的微積分終於證明瞭;兩百年後,數學傢高斯創立瞭著名的高斯定律,從而統一地重新證明瞭這種簡化的合理性。

我們先給出結論:無論把地球視為質量均勻分佈的球殼還是球體,在球以外的空間中的任何一個物體,其所受到的球殼球體總體的萬有引力等於把整個球殼球體質量集中在球心時受到的萬有引力。

數學表述即: ∑vec{F_{萬i}}=frac{-GMmvec{r}}{r^3}(球殼/體外)


證明如下:(參考 均勻球體對質點的萬有引力的計算及應用 – 豆丁網 (docin.com))

在電磁學中,我們學習瞭靜電場的高斯定理,靜電場和引力場都是平方反比的有心力場,因此引力場也符合類似於靜電場中的高斯定理。


2.3 宇宙第一/第二/第三速度

明日繼續…

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